数学建模竞赛---奖学金评定模型

1第七届大学生数学建模竞赛2013.05.17-2013.05.22主办：东南大学教务处承办：东南大学数学系东南大学数学建模竞赛组委会论文选题及题目：A奖学金评定问题参赛队员信息：队员1队员2队员3姓名刘海波仇常慧莫宇宸院系仪科自动化公卫手机[e-mail][e-mail][e-mail]2奖学金评定问题模型摘要现行的奖学金评定制度多种多样，但并不是每一种都很科学合理；题目要求用至少三种模型解决问题，因此本文基于不同的计算权重的算法，建立了四种模型：简单加权平均值模型、标准化模型、层次分析模型以及模糊层次分析模型。逐步提高了权重算法的准确性以及考虑因素的完备性，并借助C++、matlab、excel等软件解决了问题。首先，我们对数据进行了预处理。将除任选课以及人文课之外的科目有低于60分的同学淘汰，留下了40名同学。然后我们采用偏大型柯西分布和和对数函数构造了一个隶属函数：21[1()],13()ln,35xxfxaxbx将任选课与人文课的等级评价转化为百分制。在用AHP和FAHP建模的时候，由于每个同学的任选课与人文课的科目不尽相同，这对计算权重造成了很大的麻烦，为了简化计算，我们采用了补偿的方法：将每位同学已修的任选课和人文课的平均分作为这位同学未修课程的得分，因为平均分在一定程度上可以表示此学生的学习能力。模型一（简单加权平均值模型）：此模型将基础课、专业课、必选课以及选修课的权重看作是一样的，以学分比重作为权值来计算平均分，然后借助C++计算平均成绩，借助EXCEL软件排序得到前10%的学生。模型二（标准化模型）：此模型考虑到了课程的难易程度对课程权值的影响，用标准化的方法将百分制的分值转化为0~1，使得分数域相同，这有效增强了其可比性，然后借助EXCEL软件计算排序得到前10%的学生。模型三（层次分析模型）：此模型将课程性质、学时和学分都看做方案层，课程权值视为目标层，建立判断矩阵，将课程性质、学时、学分这些因素对目标层的影响量化，运用MATLAB分析计算出权值向量，进而得到前10%的学生。结果为：70,30,86,2,20,75,60,84,64,72模型四（模糊层次分析法）：此模型有效地避免了层次分析法中建立判断矩阵时的主观因素以及一致性检验时的繁琐，相比较层次分析法更加严谨，用模糊一致矩阵量化各因素的影响，然后代入公式求得权值向量，进而运用MATLAB求得前10%的学生。最终结果为：70,30,86,75,60,2,17,64,20,72关键词：奖学金评定问题，权值，隶属函数、简单加权平均值，标准化模型，层次分析模型，模糊层次分析模型3目录一、问题重述…………………………………………………………4二、问题分析…………………………………………………………42.1隶属函数求解……………………………………………………………42.2模型求解公式……………………………………………………5三、模型的假设………………………………………………………5四、定义与符号说明…………………………………………………5五、模型的建立与求解………………………………………………51．模型1………………………………………………………………65.1.1建立模型及模型求解…………………………………………62．模型2………………………………………………………………75.2.1建立模型……………………………………………………75.2.1模型求解……………………………………………………73.模型3………………………………………………………………85.3.1建立层次结构模型……………………………………………85.3.2构造成对比较矩阵……………………………………………85.3.3一致性检验及层次排序………………………………………95.3.4计算课程权重排序……………………………………………95.3.5数据处理及模型求解…………………………………………94.模型4………………………………………………………………105.4.1建立层次结构模型……………………………………………105.4.2建立模糊一致判断矩阵………………………………………115.4.3计算课程权重排序……………………………………………115.4.4数据处理及模型求解…………………………………………12六、模型的评价与推广……………………………………………136.1模型的优缺点……………………………………………………136.2最终结果比较……………………………………………………136.3建议与推广………………………………………………………13参考文献………………………………………………………………14附录…………………………………………………………………………154一、问题重述几乎学校的每个院系每年都会评定学生奖学金。设立奖学金的目的是鼓励学生学习期间德智体全面发展。其中，年度的学习成绩是奖学金评定的主要依据之一，因此，如何根据学生本年度的各门课成绩来合理衡量学生很有必要。附件1是该学院某年级105名学生全年的学习情况。请你们队根据附件信息，综合考虑各门课程，至少用3到4种方法将成绩最优秀的10%的同学评选出来，作为进一步奖学金评定的候选人，并比较这些方法的优劣。你们队的论文不应超过15页。论文应明确说明你们队是如何考虑课程性质、学时、学分、成绩等因素的，以及你们队的主要结果及对该问题的建议。二、问题分析2.1隶属函数求解在初始数据中，任选课和人文课是使用等级表示的，我们用了隶属函数法来将等级转化为百分制。偏大型柯西分布隶属函数:21[1()],13()ln,35xxfxaxbx我们规定A，B，C，D四个等级相应的值为5，4，3，2。当等级为A时，隶属度为1，即x=5，f(5)=1；等级为C时，隶属度为0.8，即x=3，f(3)=0.8;等级为E(此处没有该类型评价，出于考虑问题方便使用)时，隶属度为0.01，即x=1，f(1)=0.01。计算可得3699.0,3915.0,0957.1,9066.0ba。因而可得：53,3699.0ln3915.031,])0957.1(9066.0[1)(12xxxxxf画出隶属函数图像：根据图像我们取如下函数值：f(2)=0.4744,f(2.3)=0.6153，f(3.6)=0.8714，f(4.6)=0.9674,即：A=96.74，B=87.14，C=61.53，D=47.44。52.2模型求解公式我们用到了四种模型来求解权重，代数法的计算公式为：∑单科分数∗单科学分总学分；标准化模型计算公式为：平均成绩=某科成绩−最低分最高分−最低分；层次分析模型和模糊层次分析模型的权重计算公式为：综合成绩=∑（学分∗成绩∗学时比重∗课程性质）21i=1总学分最后用权重向量乘以成绩矩阵就可以得到关于综合成绩的矩阵。三、模型假设1．假设参评人不会以任何手段来获取评委的特殊照顾，仅以成绩做为参考凭证。2．假设所有参评人所获得的学分为准确，全面，真实。3．假设该评定流程是按严格正规的官方流程进行。4．奖学金评判标准除了受体中所给因素影响外不再受其他条件影响。5．假设未修的任选课和人文课的成绩为该学生已修任选课和人文课的平均分。四、符号说明ba、、、表示隶属函数21[1()],13()ln,35xxfxaxbx的参数；x：学生的某科的成绩max：代表每科的最高分min：代表每科的最低分i，n：代表科目数X：表标准化后的成绩W：代表权重向量：比较判断矩阵的特征值max：最大特征向量CI：一致性指标CR：一致性比率RI：平均随机一致性指标R：模糊一致矩阵A：模糊层次中的因素r：模糊层次中的数量标度w：模糊层次中的各因素的权重五、模型建立与求解方法一：简单加权平均值模型对于综合成绩的评定，我们假设基础课、专业课、必选课以及选修课的权重是一样的，奖学金评定的标准是学校培养目标的具体化，对学生全面发展具有导向作用。没有一门课程是可以被忽视的。为了更加直接的比较出每位同学的综合成绩，我们没有将分数向绩点来转6化，而是直接用代入分数的方法来计算。这样得到的结果一般不会出现相同成绩的两位同学，有利于我们很直观的选出前10%的同学，较具有科学性。综合成绩的计算取决于实际考试分数和学分2个因素。计算学分成绩时，把学分在该学年所取得的实际总学分中的比重作为权重，对每门科目进行加权得出一个加权成绩，我们认为学分在奖学金评定模型中的作用基本合理，问题应集中在实际考试分数上。所用公式：∑单科分数∗单科学分总学分5.1.1建立模型及模型求解1、由题目描述可知，任选课和人文课的成绩是以的等级的形式呈现的，所以我们通过上面的方法将其分数化得：A=96.74、B=87.14、C=61.53、D=47.44。2、然后我们将符合条件（除选修课外无不及格科目）的同学筛选出来，共剩下40位同学。3、接下来我们通过计算机来计算得到每位同学的综合成绩，c++关键代码见附录.4、最后我们应用excel自带的排序功能排序得到综合成绩前10%的同学。得到如下表的综合成绩排名：表1-1学生序号综合成绩学生序号综合成绩7084.07114478.93053082.4538178.75738681.9811878.71377581.69478.59415180.90826378.51216080.87565378.3067280.86799378.0758080.567477.84149980.40156277.80611280.32729177.77246480.1817977.49623380.15741077.238479.91631377.06082079.77699676.97447279.41822976.71641779.37268176.56427379.33916976.26265479.029210375.37659279.02022275.04632779.0147874.1291根据上表，得到前十名学生序号为：70,30,86,75,51,60,2,80,99,12.方法二：标准化模型奖学金评定的公平性在整个评定过程中必须放在首要位置。但是由于各科老师的给分习惯的差异以及任选课和人文课采取等级评分制，使得在奖学金评定时计算学生成绩会出现诸7多不便，如等级A，B，C，D怎么算才是相对公平的。所以如何减小这些影响评定公平性的因素是我们必须认真解决的问题。首先，考虑到每位老师给分习惯的不同，我们考虑极值标准化的方法，将百分制的分值转化为0~1，使得分数域相同，这有效增强了其可比性。5.2.1建立模型公式：X=𝑥−𝑚𝑖𝑛𝑚𝑎𝑥−𝑚𝑖𝑛；Y=average{∑𝑋𝑖}5.2.2模型求解1.利用Excel中的Min和Max函数将每科的最高分max和最低分min找出；2.极值标准化公式X=x−minmax−min,其中x为学生的某科的成绩；3.将归一化后所得的数据以学生为单位，计算出每位学生的平均成绩；4.对最终计算得出的平均成绩按降序进行排序，筛选出前十名的同学最终得到如下表格表2-1成绩排名学号总和平均值学号总和平均值7012.3800.652539.3580.5203010.6260.6251810.3910.5207511.4340.60219.8180.5173311.3200.596749.1440.5088611.2630.5936210.1340.507210.5690.587129.9320.4975111.4470.572919.4100.4958411.3850.569108.8680.4936010.8020.56949.3200.4912010.7680.567968.7700.48780