等差数列讲义(学生版)

巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义12.2等差数列2.2.1等差数列的概念、通项公式【学习目标】1.理解等差数列的定义(重点)；2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题；3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点).【要点整合】1.等差数列的概念条件从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2.等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.注意根据等差中项的定义，a，A，b成等差数列，则A＝a＋b2；反之，若A＝a＋b2，也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项⇔A＝a＋b23.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.上述公式中有4个变量，a1，d，n，an，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为：(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项；(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项.【典例讲练】题型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义2(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….练习1：数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列题型二等差中项例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.题型三等差数列的通项公式及应用例3(1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？（3）等差数列2,5,8,...,107共有项巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义3练习3：已知{an}为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为：a，2a－1，3－a.题型四等差数列的判定例4若an＝7n＋2，bn＝lgan，证明{bn}为等差数列.练习4：已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明an2n为等差数列，并求{an}的通项公式.巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义42.2.2等差数列的性质【学习目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；2.能运用等差数列的性质解决有关问题.【要点整合】1.等差数列与一次函数（1）等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)，(m，am)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.（2）公差d与斜率等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝an－a1n－1＝an－amn－m(m,n≥2，m≠n，m,n∈N*)，故等差数列的通项公式也可写为an＝am＋(n－m)d.2.等差数列的性质（1）等差数列的项的对称性①在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…②下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.（2）由等差数列衍生的新数列若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义5【典例讲练】题型一等差数列与一次函数的关系例1已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？练习1若数列{an}满足a1＝15，3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则使ak·ak＋10的k值为________.题型二等差数列性质的应用例2在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.练习2数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A.0B.3C.8D.11例3已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.练习3已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为()A.10B.－10C.15D.－15巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义6例4已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.练习4已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.例5、已知两个等差数列5,8,11，...和3,7,11，...都有100项，问它们有多少共同项？