数学的本质

数学家怀特海（A.N.Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1．“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”众所周知,关于数学的这个定义是恩格斯提出来的.事实上,恩格斯的这个定义,很多年以来,就是国内和国际数学界与哲学界公认的最权威的定义,最新版(2005年版)的《现代汉语词典》仍然是这样来定义数学的——“研究现实世界的空间形式和数量关系的学科”.20世纪以来,新的数学分支不断产生,纯数学越来越抽象,它与现实世界之间的距离似乎越来越远；同时,应用数学在现实世界中的涉及面空前广泛且越来越广泛,数学的研究对象似乎不仅仅是空间形式与数量关系；而且,有不少研究者从自己的认识出发,提出了关于数学的多种定义.于是乎,近些年有人就认为恩格斯给数学所下的定义过时了或“远远不够了”.这样的认识是片面的,因为事实并非如此.匡继昌先生深刻分析了“数学是什么”,认为“数学的定义应该反映数学研究的对象及其本质属性”,“只有从唯物辩证法的哲学高度,才能认清现实世界的数量关系和空间形式不是固定不变的,而是其内涵不断加深,外延不断拓广的”,所以,“恩格斯关于‘数学是什么’的论断并未过时”.2．数学是系统化了的常识这是国际著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔的观点.他认为数学的根源是普通常识,作为常识的数学,随着语言从说话到阅读和写作的不断进步与发展,也不断地进步与发展着.如数概念的获得,主要是由口头语言中相应的数词来支持的(如从一个人、一支笔、……,得到“1”),在这个过程中,首先是数学思想的语言表达.普通常识是有等级的,普通常识由经验上升成规律后,这些规律再次成为普通常识,即较高层次的常识.弗赖登塔尔曾经说过：“为了真正的数学及其进步,普通的常识必须要系统化和组织化.如同以前一样,普通常识的经验被结合成为规律(比如加法的交换律),并且这些规律再次成为普通的常识,即较高层次的常识.作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系,是由于非凡的相互影响的力量来建立的.”3．数学是人为规定的一套语言、符号系统这是部分数学史家们的看法.持这种观点的人虽然不多,但很有代表性,它给了我们认识“数学是什么”的一个新角度.翻开一部数学史,除了早期的数学与生活有着非常高的关联度,还需借助现实的生活事实去解释外,后来的数学就越来越关注自己的“语言、符号”了.这种现象最早可追溯到欧几里得的《几何原本》,到了现代,数学的这种特性表现得更加充分.当然,数学作为人为规定的一套语言、符号系统,必须要有一定的条件.通俗点讲,就是这套语言、符号系统必须能自圆其说,高雅点讲,这套系统必须是完备的.举例来说,如果你规定1+1=3,在此基础上去构造一套语言、符号系统,并且能自圆其说,也许一个新的数学分支就诞生了.数学史上不乏这样的先例.如伽罗瓦的群论,康托尔的集合论等等,当初他们出现在数学家们的眼前时,并不为大家所认可.但事实证明,这些是数学,而且是非常重要的数学.由于康托尔的集合论在自圆其说方面有一点小小的问题,从而导致了历史上的一次严重的数学危机.随着这一危机的解决,集合论变得更加完备,数学的基础变得更加稳固.集合论的创立是数学史上的一个巨大成就,以至于今天的小学数学教学中,都必须渗透集合论的思想,从而提高学生的数学认知能力.4．数学是确定无疑的绝对真理这是一些数学家和数学哲学家们的观点.对于他们而言,任何知识都可能出错,唯独只有数学是不会出错的,是可*知识的唯一代表.在他们看来,演绎法为数学知识是绝对真理提供了保证.首先,数学证明中的基本陈述视其为真,数学公理假定为真,数学定义令其为真,逻辑公理认其为真.其次,逻辑推理规则保持真理性即只承认由真理推导出来真理.以上述两个事实为基础,可知演绎证明中的每个陈述包括它的结论都为真.于是,“由于数学定理都是由演绎证明所确定,因此它们都是可*真理.这就形成了许多哲学家所断言的数学真理就是可*真理的基础”.(欧内斯特语)在这种观点之下,如果数学出现了矛盾或问题,那不是数学本身的错,而是人们的认识还未到达相应的境界,数学家和哲学家们会想办法去解决这些矛盾和问题,解决矛盾和问题的过程本身又促进了数学的发展.如π的出现,对于古希腊的数学家们来说,犹如晴天劈雳,难以接受,故而将其称为“无理数”.然而,正是为了使“无理”变得“有理”,数概念的范围从有理数扩展到了实数,促进了数学的发展.后来为了解决函数论和集合论中的一些矛盾,数学哲学也得到了较大发展,形成了逻辑主义、形式主义和构造主义(包括直觉主义)三大学派.5．数学是可误的且可纠正的这是部分数学哲学家们的观点,他们反对数学是绝对真理的主要理由是绝对观可归结为“假设——演绎”方法,数学真理和证明依据演绎和逻辑,但逻辑本身缺乏可*基础,它还要依据不可简约的假设.“但任何没有坚实基础的假设,不管它是从直觉、约定、意义或以其他任何方式所导出的,都是可误的.”(林夏水语)因此,他们认为数学是可纠正的且永远要接受更正.