行列式知识点

1行列式一、二阶行列式概念：形如11122122aaaa的式子称为二阶行列式；数学规定1112112212212122aaaaaaaa；二、三阶行列式：形如111213212223313233aaaaaaaaa的式子称为三阶行列式。规定111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa112233233212233121331321322231()()()aaaaaaaaaaaaaaa222323212122111213323333313132aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111112121313aAaAaA三、n阶行列式的定义定义：n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积1212nppnpaaa的代数和，其中p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa也可简记为detija，其中ija为行列式D的（i，j元）。根据定义，有121212111212122212121nnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM四、行列式按行（列）展开2余子式在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM。代数余子式1ijijijAM记，叫做元素ija的代数余子式。确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，其代数余子式的正负号是“(1)ij”．引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外ija都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA。定理n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaA，(1,2,,)in1122jjjjnjnjDaAaAaA或，(1,2,,)jn。五、行列式的性质定义行列互换，行列式不变．即nnaaaaaaaaaaaaaaaaaan2n1n22212n12111nnn2n12n22211n1211.记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa，行列式TD称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。TD＝D性质2行列式的两行对换，其值变号。即3nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211=-nnnniniiknkknaaaaaaaaaaaa21212111211.性质3一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即nnn2n1ini2i1n11211kkkaaaaaaaaaknnaaaaaaaaan2n1ini2i1n11211.性质4行列式中的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;性质5行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-nn,n2n1n11-n,11211aaaaaaaa.性质6如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即kaaakakakaaaaaaannnniniiiniin21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaa21212111211=0.性质7若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和。1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质8把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行4列式的值不变。nnnnknkkkninkikinaaaaaacaacaacaaaaa2121221111211nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211.性质9行列式中按任一行展开，其值相等，按任一列展开也一样。六、几个特殊的行列式：①主对角行列式：主对角元素的乘积；②副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；③上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；形如nnnnnaaaaaaaaaa333223221131211，nnnnnaaaaaaaaaa321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于121nn乘以其副对角线上各元的乘积。即1212nn，1122121nnnn七、行列式的计算：利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．5上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nnnnnaaaaaaaaaaaaa2211nn333223221131211000000，nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa2211321333231222111000000.