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解:以人距船为l的时刻作为计时起点,并以此时刻船的位置为原点建立ox坐标系。则t时刻船的位置为:速率:例:如图,人拉绳子牵引小船运动,人拉绳的速度大小为v0,人拉绳距水面的高度为h。某时刻人与船的距离为l,求船靠岸过程的速率。0vlhxo例:质点的运动方程为:式中R、h、为正的常量。求:⑴质点运动的轨道方程;⑵质点的速度大小;⑶质点的加速度大小。hx=Rcosωt,y=Rsinωt,z=ωt2π222x+y=Rhz=ωt2πxdxv==-Rωsinωtdt22222xyz2hv=v+v+v=ωR+4π2xa=-Rωcosωt2ya=-Rωsinωtza=0222xya=a+a=Rω解:⑴轨道方程为——空间螺旋线螺距为h⑶⑵ydyv==Rωcosωtdtzdzhωv==dt2π法向加速度:解:由速度定义,有:dsv==2-10tdt2nva=R例:一质点沿半径为1m的圆周运动,它通过的弧长s按s=10+2t-5t2的规律变化。求它在t=2s时刻的速度、切向加速度、法向加速度。则t=2s时的速度为:v=2-102=-18m/s2τ2dsa=dt切向加速度:2=-10m/s2=324m/s2(2-10t)=R则t=2s时法向加速度为:2n(2-102)a=1得:角位置为:则得:即:解:由定义有:dθω=dtτa=Rβ2na=Rωτnatan45==1a2Rω=Rβ22(9t)=18t32t=93θ=2+3t例:质点沿半径为1m的圆周运动,运动方程为=2+3t3,式中以弧度计,t以秒计。求:⑴t=2s时,质点的切向和法向加速度;⑵当加速度的方向和半径成45o角时的角位置。⑵当加速度方向与半径成45o角时,有:⑴t=2s时,切向和法向加速度为:dωβ=dt2=9t=18t2=1182=36m/s222=1(92)=1296m/s2=2+3=2.67rad9解:将a=e-v改写为分离变量得:例:测得作直线运动的质点其加速度为a=e-v。测得t=0时x=0,v=0。求质点的运动方程与速度。积分得:-vdv=edtvedv=dtvtv00edv=dtve-1=tv=ln(t+1)dx=ln(t+1)dt再对上式分离变量得:积分得:xt00dx=ln(t+1)dtx=(t+1)ln(t+1)-(t+1)+1七、运动学中的两类问题之一例:一列火车在雨中以20m/s的速率向正南方向行驶。地面观测者测得雨滴被风吹向南方,其径迹与竖直方向夹45角,而火车上的观测者看到雨滴径迹沿竖直方向。求雨滴相对于地面的速率。解:选地面为静止参考系,火车为运动参考系。设雨滴的绝对与相对速度分别为与,为牵连速度。vv0vvv火车前进方向0vo45三速度构成如图所示直角三角形,则雨滴对地的速度大小为0ovv=sin4520=2/2=28.29msdsv==a-btdtτdva==-bdt22τna=a+aat=b例:质点沿半径为R的圆周按的规律运动,a、b是正值常数。求:⑴t时刻的速度与加速度?⑵t为何值时加速度大小等于b?解:⑴已知速度的方向与圆周相切并指向运动前方!2s=at-bt22s=at-bt2⑵得:22nv(a-bt)a==RR200(a-bt)a=-bτ+nR422(a-bt)=b+=bR100A=Fdy例:一人从10m深的水井把10kg的水匀速提上来,由于桶漏水,每升高1m漏0.2kg,问把水提到井口需做功多少?(不计桶重)解:建立如右图所示的坐标系。oyyF则力做的功:质点质量的变化:m=10-0.2y(kg)得到力:10220=(10y-0.1y)g=10(100-0.110)=900(J)F=mg=(10-0.2y)g(N)100=(10-0.2y)gdyyo例:劲度系数为k的轻弹簧竖直放置,下端挂一质量为m的小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触,今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止,求此过程中外力做功。解:以手开始提的位置为原点建立竖直向上的坐标系oy。提升力做功为:mg=khh0A=kydy得:2221mgmgA=k()=2k2kmgh=k21=kh2y小球脱离地面时提升距离h为:解:⑴沿x轴由(0,0)→(2,0),此时y=0,dy=0,则:21x0A=Fdx例:质点所受力,求质点由(0,0)→(2,4)点的过程中力做功:⑴先沿x轴由(0,0)→(2,0)点,再平行y轴由(2,0)→(2,4)点;⑵沿连接(0,0)、(2,4)的直线;⑶沿抛物线y=x2由(0,0)→(2,4)点(单位为国际单位)。22F=(y-x)i+3xyj42y0A=Fdy⑵由原点至(2,4)的直线方程为y=2x,则:24xy00A=fdx+fdy324422002A=(x-x)dx+3ydy=42J15⑶因y=x2,则:121A=A+A=45J3(2,4)oxy220=(-x)dx8=-J340=6ydy=48J24222003=(4x-x)dx+ydy2=40J242200=(y-x)dx+3xydy解:⑴小球在力的作用下作圆周运动。在自然坐标系中:例:小球在水平变力作用下缓慢移动,即在所有位置上均近似处于力平衡状态,直到绳子与竖直方向成角。求:⑴的功,⑵重力的功。FFmlF解:以钉为对象,以木板上界面为原点建立如图oy坐标系。例:用铁锤钉钉子,设木板对钉子的阻力与钉子进入深度成正比。第一次击打将钉子钉入的深度为1.0cm,而第二次击打力度与第一次相同。问第二次钉子进木板的深度?钉所受阻力为:f=-ky(k为比例系数)bfaA=Fdr锤两次击打力度相同,对钉做功相同:阻力对钉做功:12A=A21yy=(-ky)dy221211=ky-ky2222111A+(k0-k0.01)=0-022设第二次钉钉子的深度为h,对两过程应用动能定理:22211A+[k0.01-k(0.01+h)]=022h=(2-1)0.010.0041(m)k为正常数,为质点的位矢。该质点从处被释放,由静止开始运动,求它到达无穷远时的速率。例:一个质量为m的质点,仅受到力作用,式中3rF=krr0r=r03rrdr=kr02kV=mr解:设无穷远处质点的速率为V,根据动能定理,有:rdr=rdrcosθ02rdr=krθdrrdr=rdr02r1mV-0=fdr20r011=k(-)=krr例:如图,初始时质量为M的静止绳子垂在桌外的长度为b,设绳子总长度为L。求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。dA=mgdyLbyA=MgdyL222LMgLb1=Mv02L222Lgv=LbLyoy由动能定理得:解:方法1——动能定理。以桌面为原点建立oy坐标系。设t时刻绳下垂长为y,该段绳的质量为m,绳速为v,绳全部离开桌面时的速率为vL。下滑过程重力做功:ym=ML而:重力所做元功:221Lb=Mg2L例:质量为m的物体处在距地面2R处。求地面为零势能点时的势能。ppE(3R)-E(R)0rp2rMmE(r)=Gdrr得:距地面2R处的势能:另法:以无穷远为零势能点的引力势能:pMmE(r)=-Gr取Ep(R)=0,得:p2GMmE(3R)=3R解:由,引力势:0rprE(r)=-Fdr112GMm=(-GMm)-(-GMm)=3RR3R例:如图,劲度系数为k的轻弹簧下挂质量为m的物体。求势能零点位于平衡位置o处时系统的势能。xmooPx0x解:以平衡位置为原点o建立ox坐标系,设平衡时弹簧伸长量设为x0。有:任意位置x处的系统总势能:以弹簧原长为零势能点的势能:2p1E(x)=kx2有:取Ep(x0)=0,得:内力做功等于力与相对位移的标积,即:例:如图,质量为M的卡车载质量为m的木箱以速率v沿平直路面行驶,因故紧急刹车车轮立即停止转动,卡车滑行距离L后静止,木箱相对卡车滑行了l距离。已知木箱与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为1、2。求L和l。fNmgMgfNmgF解:视卡车与木箱看作质点系。2-μM+mgL1-μmgl据质点系动能定理,有:2211-μM+mgL-μmg=-M+mv2l211-μmgL+=-mv2l外力F做功:对木箱应用动能定理:[]221MvL=μM+m-μmglL21v=2μg-Ll例:如图,质量为M的滑块置于斜面底端A处,斜面倾角高度为h。今有质量为m的子弹以速度v0水平射入滑块并留在其中,且使滑块沿斜面滑动,摩擦系数为。求滑块滑出顶端时的速度大小。解:子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒,设滑块得到的初速度为v1有:令滑块滑出顶端时的速度为v2,取A点为重力势能零点,由功能原理有:联立上式得:01mvcosα=m+Mv220mv=vcosα-2ghμcotα+1m+M222111=m+Mv+m+Mgh-m+Mv22h-μm+Mgcosαsinα0v例:打桩机锤的质量m=10t,将长L=38.5m、质量M=24t、横截面S=0.25m2(正方形截面)的桩打入地下,其侧面单位面积受泥土阻力为k=2.65104N/m2。求:⑴桩由于自重下沉深度h1;⑵在桩稳定后,将锤升至距桩顶端h=1m处让其自由下落击桩,若锤与桩发生完全非弹性碰撞,第一锤使桩下沉深度h2;⑶若桩已下沉35m时,锤再一次下落击桩后反弹起h=0.05m,此时已非完全非弹性碰撞,桩的下沉深度h3。解:⑴取桩和地球为系统,地面为势能零点,由功能原理有:桩下沉距离:1h0-4Sykdy1Mgh=2Sk0v=2gh锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为v,由动量守恒定律有:⑵锤下落的末速设为v0:0mv=M+mvyoy8.88m4.43ms1=(0-Mgh)-(0+0)粉卓联立上式得桩再次下沉的深度:21211=[0-(M+m)g(h+h)]-[M+mv-(M+m)gh]21v=2gh2h0.20m121h+hh-4Sykdy第一锤能使桩下沉深度设为h2,下沉过程由功能原理有:联立上式得桩下沉深度:⑶再次击桩时的碰撞是一般非弹性的,碰后锤的速率v1为:对桩下沉过程中再次应用功能原理,得:桩的速率设v,由动量守恒有:01mv=-mv+Mv335h23351-4Skydy=-Mgh-Mv23h0.033m22212212Sk(h+2hh)=M+mv+(M+m)gh20.99ms例:如图,质量为m长为l的绳放在水平桌面上,绳与桌面间摩擦系数为。求:⑴绳下垂段至少多长时,绳开始下滑;⑵当绳全部离开桌面时绳的速率v。解:⑴绳下垂部分的重力大于桌面的静摩擦力,绳开始下滑:0μ1+μll⑵当下垂绳长为x时,桌面对桌面上绳(l-x)的摩擦力为:=μgmfxllbfaA=fdr0-x=(μmg)dx-llll20(-)=-μmg2lll2001=(mv-mg)-(0-mg)222llllgv=1+μl以桌面为重力势能零点,由功能原理有:oxx20(-)-μmg2lll摩擦力做功:解:取A+B+地球为系统。弹簧原长为l,取原长时A位置为原点建立ox系,此处为重力与弹力势能零点。A的平衡位置为x0。例:如图,用弹簧连接质量分别为m1和m2的木板A和B。求:对A至少需施加多大的压力F,才能因突然撤去它使A跳起过程中提拉起B?初态0x初态:末态:因机械能守恒:min12F=(m+m)g平衡ox末态2x2=mr[ω(acosωtibsinωtj)]例:一质量为m的质点在平面上作曲线运动,其位矢表达式为,式中a、b、皆为常量,求质点对原点的角动量,以及所受力对原点的力矩?r=acosωti+bsinωtj(m)解:利用力矩与角动量的定义,有:L=rp=(acosωti+bsinωtj)=m(acosωti+bsinωtj)(aωsinωti+bωcosωtj)22=mabωcosωtk+mabωsinωt
本文标题:大物例题
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