2014年高考数学文科分类汇编：函数与导数

数学B单元函数与导数B1函数及其表示14．、[2014·安徽卷]若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝______．14.516[解析]由题易知f294＋f416＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.2．、[2014·北京卷]下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|2．B[解析]由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.21．、、[2014·江西卷]将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝11192.(2)F(n)＝n，1≤n≤9，2n－9，10≤n≤99，3n－108，100≤n≤999，4n－1107，1000≤n≤2014.(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝0，1≤n≤9，k，n＝10k＋b，11，n＝100.1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，同理有f(n)＝0，1≤n≤8，k，n＝10k＋b－1，1≤k≤8，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，n－80，89≤n≤98，20，n＝99，100.由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n＝9时，p(9)＝0.当n＝90时，p(90)＝g（90）F（90）＝9171＝119.当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝g（n）F（n）＝k2n－9＝k20k＋9，由y＝k20k＋9关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝8169.又8169119，所以当n∈S时，p(n)的最大值为119.3．[2014·山东卷]函数f(x)＝1log2x－1的定义域为()A．(0，2)B．(0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)3．C[解析]若函数f(x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.B2反函数5．[2014·全国卷]函数y＝ln(3x＋1)(x＞－1)的反函数是()A．y＝(1－ex)3(x＞－1)B．y＝(ex－1)3(x＞－1)C．y＝(1－ex)3(x∈R)D．y＝(ex－1)3(x∈R)5．D[解析]因为y＝ln(3x＋1)，所以x＝(ey－1)3.因为x－1，所以y∈R，所以函数y＝ln(3x＋1)(x－1)的反函数是y＝(ex－1)3(x∈R)．B3函数的单调性与最值2．、[2014·北京卷]下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|2．B[解析]由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.4．、[2014·湖南卷]下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x4．A[解析]由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．19．、、、[2014·江苏卷]已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)a(－x30＋3x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．19．解：(1)证明：因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝ex(x0)，则t1，所以m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t1成立．因为t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3,所以－1t－1＋1t－1＋1≥－13，当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．因此实数m的取值范围是－∞，－13.(3)令函数g(x)＝ex＋1ex－a(－x3＋3x)，则g′(x)＝ex－1ex＋3a(x2－1)．当x≥1时，ex－1ex0，x2－1≥0.又a0，故g′(x)0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x30＋3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0，故e＋e－1－2a0,即ae＋e－12.令函数h(x)＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－e－1x.令h′(x)＝0,得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(1)＝0；当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)h(e)＝0.所以h(x)0对任意的x∈(1，e)成立．故①当a∈e＋e－12，e⊆(1，e)时，h(a)0，即a－1(e－1)lna，从而ea－1ae－1；②当a＝e时，ea－1＝ae－1；③当a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)时，h(a)h(e)＝0，即a－1(e－1)lna，故ea－1ae－1.综上所述，当a∈e＋e－12，e时，ea－1ae－1；当a＝e时，ea－1＝ae－1；当a∈(e，＋∞)时，ea－1ae－1.15．、、[2014·四川卷]以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④[解析]若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．对于f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝xx2＋1(x＞－2)．易知f(x)∈－12，12，所以存在正数M＝12，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确21．、[2014·四川卷]已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12＜a＜e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12＜a＜e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a＜e2.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.由f(1)＝0有a＋b＝e－12，有g(0)＝a－e＋20，g(1)＝1－a0.解得e－2＜a＜1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.B4函数的奇偶性与周期性4．[2014·重庆卷]下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x4．D[解析]A中，f(－x)＝－x－1，f(x)为非奇非偶函数；B中，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)为非奇非偶函数；C中，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数；D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)为偶函数．故选D.14．、[2014·安徽卷]若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤