截长补短法培优第二课时(学生练习)

“截长补短法”在几何证明中的运用专题万全县第三初级中学李彦军截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系；截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线；（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等；…补短法：（1）延长短边；（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起；…引例：已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.FEDCBA例1.以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．FABCDEOOEDCBA例2.如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．DNMCBA例3.如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．DPCBA【补充】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．CDBPA【补充】如图，ABC中，ABAC，108A，BD平分ABC交AC于D点．求证：BCACCD．ABCD【补充】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM．MDCBA【补充】已知等腰ABC，100A，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．BAFEDC321截长补短强化训练1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥ACCDBAPQCBA2、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知ABCD，连接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ为线段ＢＣ上的一动点，Ｆ为直线ＤＣ上一动点，且EAFB。（１）如图（１），当060B时，求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA。4、已知ABC，有一个以P为顶点的角，且12APEACD，将此角的顶点放在边BC上，角的一边始终经过点A，另一边与ACB的外角的平分线交于点E。（1）如图1，当ABC三角形为等边三角形时，求证：CP+CE=CA。5、在ABC中，2BC，且ADBC于D，求证：CD=AB+BD6、如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：AB=AC+CD.变式：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=AC+CD.求证：AD平分∠BAC.BCADDBCABCDAEFADCBEP7、已知，在中ABC，0C=90，AC=BC，直线ｌ绕点Ａ旋转，过点Ｂ，Ｃ分别向直线ｌ做垂线，垂足分别是点Ｄ、点Ｅ。（１）如图１，求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ；（２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２，则ＢＤ、ＣＥ、ＡＥ之间满足的数量关系是8、如图所示，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，∠ABC=90°，∠C=30°，BE⊥AD于E点，求证：AC-AB=2BE.9、在中RtABC中，090ACB，AC=BC，点P为BC所在直线上一点，分别过点B、C作直线AP的垂线，垂足分别为点D，X。（1）当点P在线段BC上时，如图1，求证：2ADBDCE（2）当点P在CB的反向延长线上时，如图2，线段AD、BD、CE三者之间满足的数量关系是PDEBCANPDEBCAlEDBCAlEDBCAEDABC10、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是；11、RtABC中，090ACB,ACBC,点D为直线BC上一点，CHAD于H,直线CH与直线AB交于点P，作BPEAPC，射线PE与直线BC交于点E。（1）当点D在BC上时，如图1，求证：2CDDEAC（2）当点D在的CB延长线上时，如图2，请直接写出线段CD，DE，AC的数量关系。（3）在（2）的条件下，设PE与AC交于点G，并且AGCG，5PG，连接DG，分别交CH、AB于点M、N，求的长MN的长。HABCDPEPABCEDH