对勾函数

.;.对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b0时，根据对称就很容易得出结论了。(一)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x0时，错误!未找到引用源。。当x0时，错误!未找到引用源。。即对勾函数的定点坐标：(二)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。a0b0a0b0对勾函数的图像（ab同号）对勾函数的图像（ab异号）.;.(三)对勾函数的单调性(四)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(五)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，一、对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(六)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：(七)二、类耐克函数性质探讨函数xbaxy，在时或00ba为简单的单调函数，不予讨论。在时且00ba有如下几种情况：(1)0,0ba(2)0,0ba(3)0,0ba(4)0,0ba设axy1，xby2，则xbaxyyy21，其定义域为0,|xRxx且(1)0,0ba时，axy1，xby2在),0(),0,(上分别单调递增。故xbaxyyy21在),0(),0,(为单调递增函数。(2)0,0ba时，axy1，xby2在),0(),0,(上分别单调递减。故xbaxyyy21在),0(),0,(为单调递减函数(3)0,0ba图像略1当0x时，01axy，02xbyabxbaxxbaxyyy2221。当且仅当xbax，即abx取等号。2当0x时01axy，02xbyabxbaxxbaxxbaxyyy22)(21，当且仅当xbax，即abxyXOy=ax.;.（因为0x，故舍掉abx）取等号。4)0,0ba1当0x时，01axy，02xbyabxbaxxbaxxbaxyyy22)(21。当且仅当xbax，即abx取等号。2当0x时01axy，02xbyabxbaxxbaxyyy2221，当且仅当xbax，即abx取等号。三、关于求函数01xxxy最小值的十种解法1.均值不等式0x，21xxy，当且仅当xx1，即1x的时候不等式取到“=”。当1x的时候，2miny2.法0112yxxxxy若y的最小值存在，则042y必需存在，即2y或2y（舍）找到使2y时，存在相应的x即可。通过观察当1x的时候，2miny3.单调性定义设210xx21212121211111xxxxxxxxxfxf2121211xxxxxx当对于任意的21,xx，只有21,xx1,0时，21xfxf0，此时xf单调递增；当对于任意的21,xx，只有21,xx,1时，21xfxf0，此时xf单调递减。当1x取到最小值，21minfy4.复合函数的单调性2112xxxxyxxt1在,0单调递增，22ty在0,单调递减；在,0单调递增又x1,00,tx,1,0t原函数在1,0上单调递减；在,1上单调递增即当1x取到最小值，21minfy5.求一阶导2'111xyxxy当1,0x时，0'y，函数单调递减；当,1x时，0'y，函数单调递增。当1x取到最小值，21minfy6.三角代换令tanx，2,0，则cot1x2sin2cottan1xxy2,0,02.;.当4，即22时，12sinmax，2miny，显然此时1x7.向量baxxxxy1111，1,1,1,bxxabacosbacos2a根据图象，a为起点在原点，终点在xy10x图象上的一个向量，cosa的几何意义为a在b上的投影，显然当ba时，cosa取得最小值。此时，1x，222miny8．图象相减xxxxy11，即y表示函数xy和xy1两者之间的距离求miny，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线xy，显然当xy与xy1相切时，两曲线竖直距离最小。xy1关于直线xy轴对称，若xy与xy1在1x处有一交点，根据对称性，在10x处也必有一个交点，即此时xy与xy1相交。显然不是距离最小的情况。所以，切点一定为1,1点。此时，1x，2miny9.平面几何依据直角三角形射影定理，设xEBxAE1,，则xxADAB1显然，xx1为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和CD之间的距离时，xx1取得最小值。即四边形ABCD为矩形。此时，xx1，即1x，2miny10.对应法则设txfmin2xf221xx,0x，,02x，对应法则也相同txfmin2211222xxxfxxxf左边的最小值右边的最小值.;.122ttt（舍）或2t当2xPx，即1x时取到最小值，且2miny四、对勾函数练习：1．若x1.求11xxy的最小值2.若x1.求1222xxxy的最小值3.若x1.求112xxxy的最小值4.若x0.求xxy23的最小值5.已知函数)),1[(22xxaxxy.;.（1）求的最小值时，求)(21xfa(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)0恒成立,求a范围6.:方程sin2x－asinx+4=0在[0,2]内有解，则a的取值范围是__________7.函数1027yxxx的最小值为____________；函数1027yxxx的最大值为_________。8.函数xxy432的最大值为。9、若14x，则22222xxxy的最值是。10.函数xxy22sin4sin9的最小值是。11.若不等式2229ttatt在2,0t上恒成立，则a的取值范围是。12.求函数111612xxxxxxf的最值。13.的值域时，求，当142)()10(xxxfx14.的值域求31)(22xxxxxf