1代数综合提高专题一

代数综合提高专题（一）知识要点一、一元二次方程的概念1.只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.2.—元二次方程的一般形式是__________.二.—元二次方程的解法1.解一元二次方程的基本思想是，主要方法有：直接开平方法、、公式法、.2.配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）变形为(x＋2ba)2＝的形式，再利用直接开平方法求解.3.公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝.4.用因式分解法解方程的原理是：若ab＝0。则a＝0或______.三、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式是_______.2.(1)b2－4ac＞0—元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)有两个实数根；(2)b2－4ac＝0—元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)有两个_______实数根；(3)b2－4ac＜0—元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)实数根•四、一元二次方程根与系数的关系1.在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式.2．当b2－4ac＞0，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)的两个实数根是x1,x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；（2)设未知数；（3)找；(4)列方程；（5)；(6)检验；(7)写出答案.综合、提高、创新※一元二次方程的定义【例1】⑴判断:①x2＝9；②x2＝－9；③x(x＋5)＝x2－2x；④2236xx；⑤13xx；⑥232xx；⑦21337xx；⑧ax2＋bx＋c＝0.上面方程中是一元二次方程的为__________.(2)m为何值时，方程(m－3)x|m|－1＋(m＋3)x＋6＝0.①是一元一次方程；②是一元二次方程.(3)将下列关于x的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项①(2x＋1)2＝x(3x＋4)；②(23)(23)3xxx【练】3下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A.2210xxB.ax2＋bx＋c＝0C.(x－l)(x＋2)＝lD.3x2－2xy－5y2＝0※一元二次方程根的定义【例2】己知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一根是0，则a的值为.2.己知m，n是方程x2－2x－1＝0的两根，且(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝8，则a的值等于（）A.－5B.5C.－9D.93.己知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，且满足a－b＋c＝0，则可以确定方程的一个根为.4.满足(x2＋x－1)x＋3＝1的所x的个数有个.5.若两个方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0只有一个公共根，则（）A.a＝bB.a＋b＝0C.a＋b＝1D.a＋b＝－16.若方程x2－3x－1＝0的两根也是方程x4＋ax2＋bx＋c＝0的根，求a＋b－2c的值.7.三个方程ax2＋bx＋c＝0，bx2＋cx＋a＝0，cx2＋ax＋b＝0有公共根.(1)求证：a＋b＋c＝0；(2)求333abcabc的值.【练2】1.若x2－x－1＝0，求代数式43225xxxx的值；2.已知关于x的方程x2－(k＋1)x－2＝0和方程x2－2x＋k(k＋1)＝O只有一个相同的根，求k的值和此公共根.※直接开平方法【例3】1.用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根为.※配方法2．用适当的数填空：①16x2＋8x＋__________＝(4x＋__________)2；②x2＋x＋__________＝(x＋__________)2；③x2－3ax＋__________＝(x－__________)2；④2y2＋4y－3＝2(y＋__________)2－5．3．用配方法解一元二次方程：（1）x2＋2x－4＝0；（2）2x2＋1＝3x．4．把方程2x2＋4x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝__________，k＝__________．配方法的应用5．x＝__________时，代数式－x2－4x＋5有最大值为__________．6．已知P＝7115m－，Q＝m2－815m（m为任意实数），P、Q的大小关系为（）A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．不能确定公式法7．解方程：（1）x2－3x－1＝0；（2）x2＋5x＋3＝0．因式分解法十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)8．解方程：（1）x(x－3)＋x－3＝0；（2）2x2－5x－3＝0．9．方程(2007x)2－2006×2008x－1＝0的较大根为a，方程x2＋2006x－2007＝0的较小根为b，则a－b＝__________．10．已知a＋1b＝2a＋2b≠0，则ab的值为（）A．－1B．1C．2D．不能确定换元法11．已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__________．〖练3.1〗一元二次方程x2－3＝0的根为__________．〖练3.2〗填空：（1）x2＋12x＋__________＝(x＋6)2；（2）x2－10x＋__________＝(x－__________)2．〖练3.3〗代数式12x2＋8x＋5的最小值是__________．〖练3.4〗方程x2－|x－1|－1＝0的根是x1＝__________，x2＝__________（x1＞x2）．〖练3.5〗已知x为实数，且23xx＋－(x2＋x)＝2，则x2＋x的值为__________．〖练3.6〗(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0，则x2＋y2的值是__________．※一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）当b2－4ac__________0方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac__________0方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac__________0方程无实数根．【例4】1．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－kx＋14＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k为任意实数B．k≠lC．k≥0D．k≥0且k≠12．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，则m的值是__________．3．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是__________．4．实数a，b，c满足a2＋ab＋ac＜0，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．条件不足，不能确定根的情况5．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列说法：①若b＝2ac，则方程ax＋bx＋c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实数根，则方程x2－bx＋ac＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，別b2－4ac＝(2ax0＋b)2，其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有③④〖练4.1〗关于x的方程ax2－3x－1＝0有实数根，则a的取值范围是__________．〖练4.2〗如果关于x的方程x2＋4x－m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是__________．〖练4.3〗已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，下列说法：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＞0；②若方程两根为－1和2，则2a＋c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【练4.4】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列说法①当b＝a＋c时，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有一根为x＝－1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0－定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0；④若b＝2a＋3c，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根.其中正确的是（）A.①②B.①③C．①②④D．②③④应用一元二次方程解实际问题【例5】1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮又有多少人被传染？2．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益年加。据统计，2008年我市某种品汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽年2011年的年产量为多少万辆？3．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃内一边AB为xm，面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．【5.1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出的小分支数为多少？【练5.2】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植.造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3．2元的单价对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供进择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.【练5.3】如图，某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为x米，宽为y米（x≥y）.（1）如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周长）.求y与x的函数关系式并求x的取值范围；（2）现根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须在满足（1）的条件下能否用配方法求出面积的最大值？并求出符合要求的矩形的长、宽和面积．【练5.4】木兰山是武汉市道教胜地，每年农历八月朝圣游客极多，不利于景区生态建设，为控游客人数，并且保证经济收入，景区准备提高门票价格，已知每张门票价格为30元时，平均每天有游客4000人，经调研知，若每张门票价格每增加10元，平均每天游客减少500人，物价部门规定，每张门票不低于30元，不高于100元．（1）设每张门票价格增x元时（x为10的整数倍）每天游客人数为y人，写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范国．（2）当每张门票价格定为多少元时，本兰山每天门票收入最高且又有利于景区生态建设，最高门票收入不低于12万元？三，反惯练习：1．M何值时，方程（m＋3）27mx-＋（m＋3）x＋4＝0．（1）是一元一次方程：（2）是一元二次方程。2．若1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则判别式D＝b2－4ac和定全平方式M＝（2at＋b）2的关系是（）A．D＝MB．D＞MC．D＜MD．大小关系不能确定3．当x，y的值变化时，x2＋y2＋x＋y＋1的最小值是多少？此时x、y的值各是多少？4．已知关于关x的方程221(3)04xmxm--+=有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是多少？5．在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程21202xmxm++-=的两个根，求△ABC的周长．6．如图，长方形铝皮的长24cm，宽18cm，在四角截去相同的四个小正方形后，折起来做成一个没有盖子的盒子，已知盒子的底面面积是原长方形面积的一半，求盒子的高．7．已知关于x的方程22(2)10kxkxk-++-=有两个不相等的实