本科毕业论文——微积分的基本思想及其在经济学中的应用

微积分的基本思想及其在经济学中的应用摘要：微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。关键词：微分积分基本思想应用微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。1.微积分的产生、发展及其作用微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中.微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。2.微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。2.1微分学的基本思想微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。现在我们来举一个例子——物理中物体的运动速度：取坐标轴如下图，设路程函数)(ts。已知,求物体的运动速度(即s变化率)的方法分为两步（1）“局部求近似”：尽管物体在],[ba时段上作非匀速运动，但在微小时段],[ttt上可近似看成是匀速运动的。以“匀”代“不匀”，或者说对变化率以“不变”代“变”，使用处理均匀问题的除法得近似值tsv。（2）“极限求精确”：t越小，近似程度越高，于是令0t，利用极限法便将此近似值转化为精确值，即dtdstsvt0lim。2.2积分学的基本思想积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。现在我们来举一个例子——物理中运动物体经过的路程：设速度函数)(tv已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤：（1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立。因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现：①“分割”：将区间],[ba任意划分成n份，考察微小区间],[1kktt上的小段；②“求近似”：在],[1kktt上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：kkktvs)(，kkktt1，1kkkttt。（2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步：①“求和”：knknkkktvss11)(；②“求极限”：baknkkdttvtvs)()(lim10，其中)(max1knkt。可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。3.微分在经济学中的应用随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.3.1边际分析在经济学中，经常会遇到边际这一概念，如边际成本、边际收益、边际利润等等，从文献《赵树源.经济应用数学基础（一）微积分》看，经济学中的边际问题，就是相应的经济函数的变化率问题，即把一个经济函数)(xf的导数)('xf称为该函数的边际函数，边际函数在某一点的值称为边际值，总成本函数关于产量的导数称为边际成本，其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位（即1q）所增加的总成本)(qC；边际收益是指总收益函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即1q）所增加的总收益)(qR；边际利润是指总利润函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即1q）所增加的总利润)(qL。例1已知某企业某种产品的收益R（元）是销售量q（吨）的函数201.0200)(qqqR求销售50吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。解：依题意得，销售q吨产品的总收益函数为qqR02.0200)('因此，销售50吨该产品的边际收益为)(1995002.0200)50('元R其经济含义是：当销售量为50吨时，再增加一吨（即1q）所增加的总收益是199元。例2某企业生产某种产品，每月的总成本C（千元）是产量x（件）的函数，如果每件产品的销售价格为4万元，求每月生产6件、9件、156件、24件时的边际利润，并说明其经济含义。解：依题意得，每月生产x件产品的总收入函数为xxR20)(因此，生产x件产品的利润函数为：2030)2010(20)()()(22xxxxxxCxRxL于是，边际利润函数为302)'2030()('2xxxxL则每月生产6件、9件、15件、24件时的边际利润分别是：)/(183062)6('件千元L)/(123092)9('件千元L)/(030152)15('件千元L件）（千元/1830242)24('L其经济含义是：当月产量为6件时，再增产1件，利润将增加18000元；当月产量为9件时，再增产1件，利润将增加12000元；当月产量为15件时，再增产1件，利润则不会增加；当月产量为24件时，再增产1件，利润反而会减少18000元。3.2弹性分析在文献《蔡芷.财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。①需求弹性对于需求函数)(pfQ,由于价格上涨时，商品的需求函数)(pfQ为单调减函数，p与Q异号，所以特殊定义需求对价格的弹性函数为)()(')(pfppfp。设某商品的需求函数为epQ5，求需求弹性函数；7,5,3ppp的需求弹性。解：5)()(')(ppfppfp16.053)3(，说明当3p时，价格上涨%1，需求减少%6.0，需求变动的幅度小于价格变动的幅度；1155)5(，说明当5p时，价格上涨%1，需求也减少%1，需求变动的幅度与价格变动的幅度是一样的；14.157)7(，说明当7p时，价格上涨%1，需求减少%4.1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。②收益弹性收益R是商品价格p与销售量Q的乘积，所以，在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。若1时，价格上涨（或下降）%1，收益增加（或减少）)%1(；若1时，价格变动%1，收益不变；若1时，价格上涨（或下降）%1，收益减少（或增加）%1。3.3最值分析例1国内市场和国外市场的需求函数分别111.021PQ,224.050PQ，某企业的总成本函数)(102000)(21QQQQQC。企业为取得最大利润，在国内外市场销售产品可以实行差别定价或统一定价。求：（1）差别价格；（2）统一价格；（3）比较这两种定价的不同利润。解：利润函数)()()(QCQRQL总成本总收入（1）1110210QP,22.52125QP21111110210)(QQQPQR2222225.2125)(QQQPQR1120210'QQR）（又,225125)('QQR,10)('QC101020210)(')('111QQQCQR，得，有令23105125)(')('222QQQCQR，得，有令11010102101P差别定价为,5.67235.21252P（2）求最大利润而统一定价，即21PP,合并两个需求函数PPPQQQ5.0714.0501.0212121QP2142即总收入为QQRQQPQQR4142)('2142)(2，33104142)(')('QQQCQR，得即令76332142P统一定价为：(3)差别价格时的利润为：)](102000[)()()()(212211QQQPQPQCQRQL5.322)]2310(102000[)235.6710110(统一价格时的利润为：)102000()2142()()()(2QQQQCQRQL178)33102000()33233142(2综上所述，说明差别价格时取得的最大利润比较高。4.积分在经济学中的应用积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。下面可以利用积分来解决最优化问题和资金流量的现值问题。4.1最优化问题例1设生产x个产品的边际成本xxC2100)('，其固定成本为10000C元,产品的单价规定为500元。假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大，并求出最大利润。解：总成本函数为1000100)2100()(200xxCdttxCx总收益函数为xxR500)(总利润1000400)()()(2xxxCxRxLxxL2400)('，令0)('xL，得200x02)2