约数和倍数

1素数与合数中的约数与倍数知识点1：求最大公因数和最小公倍数的方法：1．求最大公因数的方法：求最大公因数较常用的方法有分解素因数、短除法、辗转相除法，它一般用符号()来表示。①分解素因数法：先分解素因数，然后把相同的素因数连乘起来。例如：231＝3×7×11，252＝22×32×7，所以231和252的最大公因数是(231，252)＝3×7＝21。②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘。例如：2181239632，所以(12，18)＝2×3＝6；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公因数。(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互素的)。例如，求600和1515的最大公因数：15156002315，6003151285，315285130，28530915，301520所以1515和600的最大公因数是15。2．求最小公倍数的方法最小公倍数＝公有素因数的积×各自独有的素因数的积，它一般用符号[]来表示。知识点2：最大公因数的性质：①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互素数；②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n。知识点3：求一个数所有因数的个数：用分解素因数形式表示：31241234=npppppnNaaaaa(12naaa、、为合数N的不同素因数)，那么所求的约数的个数为123(1)(1)(1)(1)nApppp这个数所有约数的和为12010101111222()()()npppnnnSaaaaaaaaa例如：①32504237，那么它有(31)(21)(11)24个因数；它所有因数的和为：012301201(2222)(333)(77)S151381560②4＝22，9＝32那么它们均有2＋1＝3个因数；222164(2)，222819(3)，那么它们均有4＋1＝5个因数；222222825616(4)(2)2，2222228656181(9)(3)3那么它们均有8＋1＝9个因数。完全平方数有奇数个因数。知识点1：当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为0时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；如果a被b除所得的余数不为0，则称a不能被b整除，或b不整除a。约数与倍数2数的整除特征：①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7，11或13整除，那么这个数能被7，11或13整除；⑤部分特殊数的分解：111＝3×37；11111＝41×271；1001＝7×11×13；10001＝73×137；10101＝3×7×13×371995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251；2009＝7×7×41；2010＝2×3×5×67。(基础、提高)⑴求1085和1178的最大公因数和最小公倍数；⑵求(3553，3910，1411)，[3533，3910，1411]。(尖子)求864的约数的个数？这些约数的和是多少？(基础、提高)两个正整数的积是1445，最大公因数为17，则两数的最小公倍数是多少？(尖子)一个五位数236yx是72的倍数，且两位数6y是9的倍数，则xy＝_____。例2例13(基础、提高)已知四位数的个位与千位数字之和为10，个位数字既是偶数又是质数，百位数字与十位数字组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，求所有满足条件的四位数中的最大者。(尖子)所有小于49的正整数相乘，问乘积以几个零结尾？(基础)已知正整数M除以63的余数为17，则M除以21的余数是多少？(提高、尖子)如果今天是星期三，则再过20022002200220022002200211个天后是星期几？(基础)今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物最少几何？(提高、尖子)⑴一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7，被9除余8，被10除余9，求这样的四位数。⑵一个数除以7余3，除以11余7，除以13余4，符合此条件的数最小是_____；如果它是一个四位数，那么最大可能是_____；例5例4例34(基础、提高)将一个数的所有约数两两求和分别是4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，26，28，36，38，40，42，50，56，106，108，110，112，120，126，140，这个数是多少？(尖子)设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9，求证：(a1－1)(a2－2)…(a9－9)是一个偶数。(基础、提高)若34和56除以m的余数相同，且m为奇质数，则m除72的余数是多少？(尖子)已知一个数除以309，222，251所得余数相同，这个余数是多少？(基础、提高)三个连续正整数n，n＋1，n＋2(n为奇数)的最小公倍数为多少？最大公因数是多少？(尖子)六位数3ababa是6的倍数，这样的六位数有多少个？(基础、提高)如果从5，6，7，8，9五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，它能被3，5，7都整除，求这些数中最大的四位数。(尖子)用0，1，2，3…8，9这十个数字组成能被11整除的最大的十位数是多少？例9例8例7例65测试题1．一个数的约数中，将所有约数两两求和分别是3，5，6，7，9，11，12，14，15，21，22，24，25，30求这个数是多少？2．请将2，5，14，24，27，55，56，99，这八个数分成两组，使得这两组数的乘积相等。3．求满足该小题条件的整数a：11|a1a2a3a4a。4．一个三位数被除余10，被6除余4，被4除余2，求这个三位数最小是多少？6答案1．【解析】答案()2．【解析】答案2，27，55，56；5，14，24，993．【解析】答案：24．【解析】答案：142