电路方程的矩阵形式

第15章电路方程的矩阵形式重点1.关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念2.回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式15.1图的矩阵表示电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的KCL和KVL方程。图的矩阵表示用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵1.关联矩阵一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述ajkajk=1支路k与结点j关联，方向背离结点。ajk=-1支路k与结点j关联，方向指向结点ajk=0支路k与结点j无关Aa=nb支路b结点n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，矩阵Aa的每一个元素定义为：例Aa=1234123456支结-1-10100001-1-1010001101-100-1①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。1２３６５４①②④③关联矩阵Aa的特点：引入降阶关联矩阵AA=(n-1)b支路b结点（n-1）设④为参考节点,得降阶关联矩阵A=123123456支结-1-10100001-1-101000111２３６５４①②④③设③为参考节点,得降阶关联矩阵Aa=124123456支结-1-10100001-1-1001-100-1注给定A可以确定Aa，从而画出有向图。引入关联矩阵A的作用：Tiiiiii654321i设:①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程1２３６５４①②④③-1-10100001-1-10100011iiiiii654321[A][i]=0651543421iiiiiiiii矩阵形式的KCL:[A][i]=0以④为参考节点n-1个独立方程332212131nnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuu654321321110001011100001011nnnuuu][][][nTuAuKVL矩阵形式的1２３６５４①②④③Tuuuuuuu654321uuuunnnn321设:②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程2.回路矩阵B1支路j在回路i中方向一致-1支路j在回路i中方向相反0支路j不在回路i中bij=一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。[B]=lb支路b独立回路l每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路，矩阵B的每一个元素定义为：2。支路排列顺序为先树支后连支，回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]，规定：1。连支电流方向为回路电流方向例取网孔为独立回路，顺时针方向1231２３６５４①②④③123B=123456支回01110000-10-111-1000-1注给定B可以画出有向图。选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt1]01-1001BtBl1２３６５４①②④③例设矩阵形式的KVL：[B][u]=0Tltuuuuuuuuu][][3216541２３６５４①②④③引入回路矩阵[B]的作用：①用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程[B][u]=1-101001-1101001-1001BtBluuuuuu32165403652654154uuuuuuuuuu[Bf][u]=0可写成0]1[lttuuBBtut+ul=0ul=-Btut654321uuuuuuuutl设连支电压用树支电压表示②用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程Tiiiiiii][][321654321100110010111001011iii3216543213232121iiiiiiiiiiiiiiii矩阵形式的KCL：[B]T[il]=[ib][Bf]=[Bt1]1][TtTBBfltlTtiiiB][1tlTtiiB树支电流用连支电流表出1２３６５４①②④③独立回路电流3.基本割集矩阵Q每一行对应一个基本割集每一列对应一条支路，矩阵Q的每一个元素定义为：qij=1支路j在割集i中且与割集方向一致-1支路j在割集i中且与割集方向相反0支路j不在割集中割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。[Q]=(n-1)b支路b割集数规定：(1)割集方向为树支方向(2)支路排列顺序先树支后连支(3)割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵[Qf]1２３６５４①②④③例选4、5、6支路为树Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}Q=456123支割集Q1Q2Q3100-1-1001011-10010-11QlQt]1[lQ设Tiiiiiii][][321654b矩阵形式的KCL：引入基本割集矩阵[Qf]的作用：①用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程1２３６５４①②④③100-1-1001011-10010-11iiiiii32165403263215214iiiiiiiiii[Qf][ib]=矩阵形式的KCL：[Qf][ib]=0设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[u4u5u6]T②用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程1２３６５４①②④③btTfuuQ3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuu矩阵形式的KVL：[Qf]T[ut]=[ub]btTfuuQ3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuutTltTltuQuQuuu1][fbtTlluQu连支电压用树支电压表示QQi=0QTut=u小结：tlTtiiBul=-BtutlltiQitTlluQuABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=00bnTbuBuAu对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵A，选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本割集矩阵[Qf]，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。15.2矩阵A、Bf、Qf之间的关系1.A与B之间的关系0nTuAB00TTBAorAB0blTbiQiBi对同一有向图，任选一树，满足：2.B与Q之间的关系0lTiBQ00TTQBorBQ011TtlTffBQBQTtlBQlftfltQQBBAAA11对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：3.A与Q之间的关系01TtltTfBAABAl1tfAAQ1ltTtlTttAABorABA10l-tAA1TtlBQ例已知：[Bf]=12345支回10100-11010-10001求基本割集矩阵，并画出网络图。解011101011101TtlBQ0111010101fQ1２３５４①②③15.3支路电压电流关系的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。1.复合支路设标准支路为：Zk（Yk）-ekISKU+-+kISkIKU复合支路特点：方向相反；其方向与支路电压电流电流源，号支路的独立电压源和分别表示KIUSKSK1方向关联；支路电压与支路电流的2它们的组合。电容、电感，而不能是、），只能是单一的电阻是支路的阻抗（或导纳YZKK)(3ZK即KkkCj1LjRωω注复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。Zk（Yk）00SKSKUIZk（Yk）+SKU-0kIS-SKU+00kSZkIZk（Yk）0SKUkISZk（Yk）=0-SKU+kISSKI00kSZUk2.阻抗矩阵形式应用KCL和KVL可以写出用阻抗表示的k支路电压、电流关系方程：Zk（Yk）-ekISKU+-+kISkIKUskskkkkZIIUU)(如有b条支路，则有：11111)(ssUZIIUZU22222)(ssIIUbbbbUbssZIIU)(设TbUUUU......21TsbsssIIII......21TsbsssUUUU......21TbIIII......21[Y]=diag[Y1Y2……Yb]支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流元的电流列向量SSUIIUZZ整个网络的支路电压、电流关系矩阵：sbssbbbbUUIIZZZUUIIs112111000000bb阶对角阵[Z]=diag[Z1Z2……Zb]T写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：s66s55432s165321UIIIIIIIIRRCj1LjLjRUU000000000000000161ωωω例+R1R51/jCjL2R61SI234-6SUjL35SI11①23456②③④解2122112121SSSSUUIIIILjMjMjLjUU2112222)()(SSSUIIMjIILjU1221111)()(SSSUIIMjIILjU**M+--+1SU2IS1SI2SU1Ljω2Ljω1I2I3.有互感时的阻抗矩阵形式