概率论复习知识点总结

一、事件间关系和运算子事件A⊂BA发生必然导致B发生事件相等A=BA、B中其中一个发生另一个也发生互不相容（互斥）A∩B=A、B不同时发生对立（互逆）A∩B=,A∪B=ΩA和B中有且只有一个发生（记B=）差事件A-BA-B发生A发生B不发生积事件A∩BA∩B发生A、B都发生和事件A∪BA∪B发生A、B至少有一个发生A第1章要点二、事件运算满足的定律事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A，B，C为事件，则有交换律：结合律：分配律：对偶律：例1.3,作业:一、3，二、1，2,ABBABAAB),()(CBACBA)()(BCACAB),()()(BCACCBA))(()(CBCACAB,BABABAAB第1章要点三、概率的性质(1)P()=0．(2)(有限可加性)两两互不相容，则(3)(逆事件的概率)对任一事件A，有(4)(单调性)若P(A)P(B),且P(A–B)=P(A)-P(B).(5)对任意两个事件A,B有P(A–B)=P(A)–P(AB)．(6)（加法公式）对于任意两事件A，B有P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)．例1.4；作业:一、4，11；二、3，5，6.)()(11nkkknkAPAPnAAA,...,,21).(1)(APAP,AB第1章要点四、古典概型与几何概型古典概型概率计算公式：作业：三、6，8nkA)A(P中所有样本点的个数中所包含样本点的个数事件第1章要点五、条件概率与乘法公式若P(A)0若P(B)0例1.11，1.12；作业:一、12；二、4,7；三、12)()()(APABPABP)()()(ABPAPABP)()()(BPABPBAP)()()(BAPBPABP第1章要点六、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：贝叶斯公式：例1.16，1.17，作业：三、14，15P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An),n,,,iP(B))AB)P(P(A)ABP()P(A)AB)P(P(AB)AP(iiiniiiii211第1章要点七、事件的相互独立性注意几对概念的区别：互不相容与互逆互不相容与相互独立相互独立与两两相互独立作业：一、8；二、8，9；三、17，19P(AB)=P(A)P(B)第1章要点第2章要点一、随机变量及其分布1.随机变量的概念2.分布函数：定义：F(x)=P{X≤x}x∈R性质：单调性，有界性，右连续性利用分布函数求概率：即对任意实数a,b,有例2.2，2.4，2.5，三1，2，4}{bXaP}{}{aXPbXF}{aXP)()(aFbF}{1aXP)(1aF第2章要点二、离散型随机变量1.离散型随机变量的分布律分布律的概念；分布律的性质：分布律与分布函数的关系：2.常用离散型分布二项分布：X~B(n,p),0p1泊松分布:X~P(),0例2.6，2.7作业：一、2，3；三、6，7，9xxiipxF)(,2,1,}{ipxXPii,0ip11iip第2章要点三、连续型随机变量1.连续型随机变量及其分布定义：F(x)与f(x)关系：f(x)性质：由f(x)计算概率：例2.9，2.11作业：三、10，11xdxxfxF)()(,0)(xf1)(dxxfbadxxfbXaP)(}{连续）)(();()(xFxfxF第2章要点三、连续型随机变量2.常用连续型随机变量均匀分布X~U(a,b),指数分布：X~Exp(),0,正态分布：X~N(,2),0作业：一、5，6，7，8，11,0,1)(其它，bxaabxf0,00,1)(1xxexfxxexfx,21)(222)(第2章要点四、随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布分布函数法:先求分布函数，再求密度函数.例2.6，作业：三、16，17，18第3章要点一、二维随机变量及联合分布函数联合分布函数的定义：二、二维离散型随机变量及其联合分布律联合分布律定义：性质：},{),(yYxXPyxF,2,1,,},{jipyYxXPijji,0ijp111ijijp第3章要点三、二维连续型随机变量及其联合概率密度定义：利用概率密度求概率：随机变量落在区域G内的概率xydudvvufyxF),(),(yxyxfGYXPGdd),(}),{(四、二维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关系设二维随机变量(X,Y)具有分布函数F(x，y))(xFX),(),(limyFyxFx),(),(limxFyxFy)(yFY第3章要点五、边缘分布律与联合分布律的关系设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…，则,2,1,}{1ipxXPpjijii,2,1,}{1jpyYPpiijjj第3章要点六、联合概率密度与边缘概率密度的关系二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则例3.5，3.8，3.10，作业三、7，,),()(dyyxfxfXdxyxfyfY),()(第3章要点七、二维随机变量相互独立的充要条件2)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为).()(),(yFxFyxFYX相互独立和YX则有边缘分布函数分别为的联合分布函数为设随机变量),(),(),,(),()1yFxFyxFYXYX.,2,1,,},{jipyYxXPijji相互独立和即YXjiijPPP..},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX第3章要点则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),(3)yfxfyxfYXYX相互独立和YX在平面上几乎处处成立。).()(),(yfxfyxfYX作业：三、15，18（1）第3章要点八、二维连续型随机变量函数的分布1.和的分布正态分布的性质定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，且C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则作业:二、2；三、17第3章要点niNXiii,...,2,1),,(~2),(~21211iniiiniiniiiCCNXC八、二维连续型随机变量函数的分布（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立的n个随机变量，若Y=max(X1,X2,…,Xn),Z=min(X1,X2,…,Xn),试在以下情况下求Y和Z的分布若Xi同分布，则作业：三、19第3章要点)(yFY,)(1niXyFi)(zFZniXzFi1)](1[1,)]([)(nYyFyFnZzFzF)](1[1)(第4章要点一、随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望1)(iiipxXEdxxxfXE)()(1)(kkkpxg)]([)(XgEYEdxxfxg)()(第4章要点一、随机变量的数学期望数学期望的性质(1)设c是常数，则有E(c)=c．(2)E(cX)=cE(X)，E(X+c)=E(X)+c．(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)．(4)设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)．第4章要点二、随机变量的方差定义式：计算式：性质：(1)设c是常数，则D(c)=0；(2)D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；2)]([XEXEDX22)]([)(XEXEDX10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba2)(ba12)(2ab0θθ2θ分布参数数学期望方差0-1分布二项分布B(n,p)泊松分布P()均匀分布U(a,b)指数分布Exp()正态分布N(,2)0,σμμ2σ三、重要分布的期望和方差第4章要点四、协方差及相关系数定义式：计算式：性质:(1)(2)(3)a，b为常数；(4)(5)当随机变量X与Y相互独立时,有Cov(X,Y)=0．)])([(),(EYYEXXEYXCov)()()(),(YEXEXYEYXCov)()(),(YDXDYXCovXY)0)(,0)((YDXD);,(),(XYCovYXCov);(),(XDXXCov),,(),(YXabCovbYaXCov);,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov第4章要点例4.13,4.15,例4.18例4.19,作业:一、3,4，二、1,2,6,8,10三、2，5，7，9，18，20第4章要点第4章要点三、矩的概念k阶原点矩k阶中心矩k+l阶混合矩k+l阶混合中心矩,3,2},)]({[kXEXEk,2,1,),(lkYXElk,2,1,},)]([)]({[lkYEYXEXElk,2,1),(kXEk一、契比谢夫(Chebyshev)不等式．【定理5.1】设随机变量X的数学期望E(X)及方差D(X)都存在，则对于任意正数，有不等式即成立．2)(}|)({|XDXEXP2)(1}|)({|XDXEXP.第5章要点第5章要点二、大数定律：三、中心极限定理:当n充分大时，例5.1例5.5例5.6作业:一、1,2,3二、6，7三、6,9),(~21nnNXnii近似),(~2nNX近似))1(,(~pnpnpNn近似独立同分布的中心极限定理棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)(11nXnPnii辛钦大数定律第6章要点一、统计量的概念及常用统计量二、抽样分布：统计三大分布2分布，t分布，F分布三、分位数的概念：标准正态分布，2分布，t分布，F分布的分位数作业：一、1，2，4，7，二、1，2，3、三、1，2第7章要点一、参数的点估计1矩估计：三步法：①求总体矩；②样本矩代替总体矩；③求出矩估计量（矩估计值）2最大似然估计法：二步法：①求（对数）似然函数；②求（对数）似然函数的最大值点例7.2,7.3,7.5,7.6作业：一、4,8,12,13,三、3，5,6,8第7章要点二、估计量的评价标准1.无偏性2.有效性3.相合性作业:二、2,6三、7,8,9三、区间估计正态总体均值与方差的区间估计例7.10,7.11,7.12作业:三、12,14,15一、假设检验的两类错误犯第一类错误的概率：P{弃真}=P{拒绝了H0|H0为真}=P{检验统计量的值落入拒绝域|H0为真}犯第二类错误的概率：P{存伪}=P{接受了H0|H0为假}=P{检验统计量的值未落入拒绝域|H0为假}=例8.6,8.7作业:一、3,4二、3,4,7,三、5,8第8章要点第8章要点二、单正态总体N(,2)的均值的假设检验检验名称条件检验类别H0H1检验统计量分布拒绝域Z检验2已知双边检验μ=μ0μ≠μ0N(0,1){|z|≥zα/2}左边检验μ≥μ0μμ0{z≤-zα}右边检验μ≤μ0μμ0{z≥zα}T检验2未知双边检验μ=μ0μ≠μ0t(n–1){|t|≥tα/2(n–1)}左边检验μ≥μ0μμ0{t≤–tα(n–1)}右边检验μ≤μ0μμ0{t≥tα(n–1)}nXZ/0nSXt/