第3章--离散傅里叶变换(DFT)2

第３章离散傅里叶变换本章学习目标学习目标：掌握DFT的定义，DFT的基本性质，理解频率域采样定理，掌握DFT的应用举例（掌握利用循环卷积计算线性卷积的方法，掌握用DFT分析确定信号频谱的方法．）。重点：DFT的概念及其运算和应用，频率域采样定理难点：离散傅里叶变换，频率域采样定理3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第３章主要学习内容3.1离散傅里叶变换的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为:10()[()](),k=0,1,......,N-1NknNnXkDFTxnxnWX(k)的离散傅里叶逆变换为：101()[()](),n=0,1,......,N-1NknNkxnIDFTXkXkWN2jNNWe式中3.1.1DFT的定义N称为DFT变换区间长度，N≥M下面证明IDFT［X(k)］的唯一性。110011()001[()][()]1()NNmkknNNkmNNkmnNmkIDFTXkxmWWNxmWN11,()0,01{NmnMNMkmnNmnMNMkWNM为整数所以，在变换区间上满足下式：IDFT［X(k)］=x(n),0≤n≤N-1由此可见，定义的离散傅里叶变换是唯一的。例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT273880038()()sin()2,0,1,,7sin()8jknknnNjkXkxnWekekk当变换区间N=8，则：解：当变换区间N=16，则：2153161600316()()sin()4,0,1,,15sin()16jknknnNjkXkxnWekekk3.１.2DFT与FT及z变换之间关系设x(n)是长度为N的有限长序列平面zN21k2k0k12NRe[z]Im[z]1100()()()()NNnjnnnXzxnzxnre10()[()]()()jNjjnzenXeFTxnxneXz210()[()]()NjnkNnXkDFTxnxne2()jkNXe0,1,,1kNkNjeX2)(102)()]([)(NnnkNjenxnxDFTkX3.5.2DFT与DTFT及z变换之间关系设x(n)是长度为N的有限长序列njNnnNnrenxznxzX)()()()(1010jezNnnjjzXenxnxDTFTeX)()()]([)(101,,1,0Nk02)(jeX)(kX平面zN21k2k0k12NRe[z]Im[z]2jkNze2kN2()()jkNzeXkXz()()NjkXkXe2NN)()(nxtxa抽样xa(t)0tx(n)n0-CCS/20)(jXaS/2)(jeX0-SSx(n)n0S/2)(jeX0-SS)()()(kXeXzXj或抽样S/2)(~KX0-SSS/2)(KX0图3.1.1X(k)与X(ejω)的关系前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于WNkn的周期性，使式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有：(),,,kkmNNNWWkmN均为整数所以X(k)满足：1()010()()()()NkmNnNnNknNnXkmNxnWxnWXk3.1.3DFT的隐含周期性实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即~xn~xn~~()()()()()mNxnxnmNxnxnRn为了以后叙述方便，将上式用如下形式表示：~()()NxnxnnNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()(~nNnnxnx其他010)(~)(0n123145N-1)(~nx主值区间0n123145N-1)(nxNnxNnxnx))(()()(~模)()(~)(nRnxnxNnNnnRN其他0101)(式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则((n))N=n1~55,()(),Nxnxn则有：~5~5(5)((5))(0)(6)((6))(1)xxxxxx例如，如果x(n)的长度为N，且=x((n))N，则可写出的离散傅里叶级数表示为:111~~00011~~00()()(())()11()()()NNNknknknNNNNnnnNNknknNNkkXkxnWxnWxnWxnXkWXkWNN式中：~()()()NXkxkRk结论：有限长序列x(n)的N点离散傅立叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅立叶级数的主值序列．X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x((n))N的频谱特性。~Xk~xn~xn3.2离散傅里叶变换的基本性质则y(n)的N点DFT为：Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］,0≤k≤N-13.2.1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。且：y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=max［N1,N2］其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。设x(n)为有限长序列，长度为M，M≤N,则x(n)的循环移位定义为：3.2.2循环移位性质1.序列的循环移位y(n)=x((n+m))NRN(N)循环移位的实质是：将x(n)左移m位，而移出主值区（０≤n≤N-1)的序列值又依次从右侧进入主值区间。0n24x(n)6N取N=8)(~nxnNnxnx))2(()2(~n)())2((nRnxNNN6设m=2周期延拓取主值区间1n=02N-2N-11n=02N-2N-11n=02N-2N-1y(n)=x((n+m))NRN(n)2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即：则:Y(k)=DFT［y(n)］＝WN-kmX(k)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。上式表明:在时域里有限长序列循环移位后的DFT，等效于在频域里产生相移而原来的离散频谱的幅度并不改变。证明：1010()[()](())()(())NknNNNnNknNNnYkDFTynxnmRnWxnmW令n+m=n′，则有:1()1()(())(())NmknmNNnmNmkmknNNNnmYkxnWWxnW110(())()()NkmknNNNnNkmknNNnkmNWxnWWxnWWXk如果:X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)3.频域循环移位定理则y(n)=IDFT［Y(k)］=WnlNx(n)上式表明:有限长序列x(n)乘以复指数序列WNnl的DFT，等效于在频域X(k)循环移位l单位。证明：10101''1''0()[()]1(())()1(())','(,1)1()(('))1(('))NknNNNkNknNNkNlklnNNklNnlknNNNknlNynIDFTYkXklRnWNXklWNkklklNlynXkWNWXkWNWxn令则设序列h(n)和x(n)，长度分别为N和M，h(n)和x(n)的L点循环卷积为：3.2.3循环卷积定理1.有限长序列的循环卷积10()[()(())]()LcLLmynhmxnmRnL式中：称为循环卷积区间的长度,Lmax[N,M]循环卷积记为：()()()cynhnxn＊()()()cynhnxnLL点循环卷积记为：直接计算循环卷积的过程：1）补零2）周期延拓,形成x((m))L。3）翻褶,形成x((m))L，取主值序列，形成x((m))LRL(N)。4）圆周移位(循环移位），形成x((n-m))LRL(N)。5）相乘相加10()[()(())]()LLLmynhmxnmRn注：上式中的n和m的变化区间均为［０，N-1]注：两个L点序列的L点圆周卷积得到的结果仍为L点序列。写出x((n－m))矩阵的特点：１）第一行为序列的循环到相序列，ML时，加零补齐．（将第一个序列值x(0)不动，后面的序列反转１８０度再放到x(0)后）2）循环移位（第一行以后的各行均是前一行向右循环移位１位形成）．3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等．10()[()(())]()LLLmynhmxnmRn直接计算循环卷积比较麻烦，在这里介绍采用矩阵相乘的方法计算循环卷积．当n=0,1,2……..N-1时，由x(n)形成的序列为｛x(0),x(1),x(2),………x(L-1),n和m在变化区间为［０，N-1]．x0xL-1xL-2.......x10x1x0xL-1...........x21..............................................................2.........................L-12xL-1xL-2................x0hL-1chhynxLxhL0143211012143110.1321410211043213cccccyyynyy例．计算下面给出的两个长度为４的序列h(n)和x(n)的４点与８点的循环卷积．1,2,3,4(){1,1,1,1}hnxn解：计算４点的循环卷积．010000432111210000431323210000416343210000110.00432100094070043210050400043210600000043217cccccccccyyyyynyyyy1,2,3,4,0,0,0,0(){1,1,1,1,0,0,0,0}hnxn解：计算８点的循环卷积．有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为：２时域循环卷积定理则x(n)的N点DFT为：X(k)=X1(k)·X2(k）121210()[()(())]()NNNmxnxnxnxmxnmRn其中x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］证明：直接对上式两边进行DFT111200111200()[()][()(())()]()(())NNknNNNnmNNknNNmnXkDFTxnxmxnmRnWxmxnmW