“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)

“PA+k·PB”型的最值问题当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取任意不为1的正数时，通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A′（或B′），连接A′B（或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。例1.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。例2.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝31S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为．例3.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，△PMN的周长最小值为；当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为。变式：“造桥选址”模型例4.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=302．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为。例5.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上（V1）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。解题步骤：①将所求线段和改写为“BD＋12VVAD”的形式（0＜12VV＜1）；②在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度α，使得sinα＝12VV；③过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．例6.如图，△ABC中，BC=2,∠ABC=30°，则2AC+AB的最小值为。例7.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,则AM+21BM的最小值为。例8.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒。[中考真题]1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB21的最小值为。2.（2014.成都）如图，已知抛物线42938yxx与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线33433xy与抛物线的另一个交点为D（-5，33）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少？三、“阿氏圆”模型【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图所示2-1-1，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？图2-1-1图2-1-2图2-1-3本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比kOBOP；第四步：在OB上取点C，使得kOBOPOPOC；第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．例9.如图，点A、B在⊙O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在⊙O上，则2PC+PD的最小值为．例10.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，求22PC+PD的最小值为．例11.（1）【问题提出】：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求BPAP21的最小值为．（2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，BPAP31的最小值为．（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为．【模型类比】①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin∠CAE）---过终点作所构角边的垂线---利用垂线段最短解决②“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB∽△CAP推出PA2=AB即：半径的平方=原有线段×构造线段拓展：“费马点”问题背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．