积分中值定理在数学分析中的应用(毕业论文)

毕业论文题目积分中值定理在数学分析中的应用学生姓名李正邦学号0609014168所在院(系)数学系专业班级数学与应用数学专业2006级5班指导教师李金龙完成地点陕西理工学院2010年5月30日陕西理工学院毕业论文第1页共10页积分中值定理在数学分析中的应用李正邦（陕西理工学院数学系数学与应用数学专业2006级5班,陕西汉中723000）指导老师：李金龙[摘要]本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.[关键词]积分;中值;定理;应用1引言积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.2预备知识定理2.1[1](积分第一中值定理)若xf在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得baabfdxxfb,a.证明由于xf在区间[a,b]上连续,因此存在最大值M和最小值m.由],[,baxMxfm,使用积分不等式性质得到abMdxxfabmba,或Mdxxfabmba1.再由连续函数的介值性,至少存在一点ba,,使得.1dxxfabfba定理2.2[1](推广的积分第一中值定理)若xgxf,在闭区间ba,上连续,且xg在ba,上不变号,则在ba,至少存在一点,使得.,badxxgfdxxgxfbaba陕西理工学院毕业论文第2页共10页证明推广的第一中值积分定理不妨设在ba,上0xg则在ba,上有，xMgxgxfxmg其中m,M分别为xf在ba,上的最小值和最大值,则有,dxxgMdxxgxfdxxgmbababa若0dxxgba,则由上式知0dxxgxfba,从而对ba,上任何一点,定理都成立.若0dxxgba则由上式得,Mdxxgdxxgxfmbaba则在ba,上至少存在一点,使得,babadxxgdxxgxff即.,badxxgfdxxgxfbaba显然,当1xg时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理3积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.在使用积分中值定理时要注意以下几点：(1)在应用中要注意被积函数在区间ba,上连续这一条件,否则,结论不一定成立.例如显然xf在0x处间断.由于4004400444,0coscosxdxdxxdxxfdxxfdxxf陕西理工学院毕业论文第3页共10页但4,4在上,0xf,所以,对任何4,4都不能使fdxxf244.(2)定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉.例如令,2,2,sin,sinxxxgxxf由于0|cossin21sin2222222xxxxdxdxxgxf,但2222,0sinxdxdxxg所以,不存在2,2,使.2222dxxgfdxxgxf(3)定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必须是ba,的内点.例如令baxxf,,1,则对,,ba都有abfdxxfba,这也说明了未必在区间ba,的内点.下面就就其应用进行讨论.3.1求函数在一个区间上的平均值例1试xfsinx求在,0上的平均值.解平均值.2|cos1sin100xxdxf例2试求心形线20,cos1ar上各点极经的平均值.陕西理工学院毕业论文第4页共10页解平均值.|sin2cos1212020aadar注在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义.3.2估计定积分的值例3估计dxxx1036191的值.解由推广的积分第一中值定理,得,1120111136101936103619dxxxx其中1,0因为,10所以,11121363即，201112012201363故.201122011036193dxxx例4估计dxx20cos5.011的值.解因为xxfcos5.011在2,0上连续,且2)(max2,0xf,32)(min2,0xf,所以由积分第一中值定理有422cos5.0112324320dxx.在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.例5估计dxxx1091的值.解因为xxxf19在1,0上连续,在1,0内可导,陕西理工学院毕业论文第5页共10页且238121718xxxxf在1,0内无解,即1,0,0xxf,等号仅在0x时成立.故xf在1,0内严格单调增,即21100fxff,所以由积分第一中值定理有2110109dxxx.在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了.综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯.3.3求含有定积分的极限例6求极限npdxxxpnnn,,sinlim为自然数.解利用中值定理,得因为xxxfsin在pnn,上连续,由积分中值定理得pnnpdxxxpnn,,sinsin当n时,,而|sin|1.故dxxxpnnnsinlim=p.sinlim=0.例7求xdxnn20sinlim.解若直接用中值定理xdxnn20sinlim=nsin2,因为20而不能严格断定xnsin0,其症结在于没有排除,故采取下列措施陕西理工学院毕业论文第6页共10页xdxnn20sinlim=xdxn20sin+xdxn22sin.其中为任意小的正数.对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有xdxnn20sinlim.=0sin2limnn,220.而第二个积分22sinxdxndxxn22sin22dx=,由于得任意性知其课任意小.所以xdxnn20sinlim=xdxn20sin+xdxn22sin=0.注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量n的趋近方式.3.4确定积分的符号例8确定积分dxexx333的符号.解dxexx333=dxexx033+dxxexx303=tdett330+dxexx303=dtett033+dxexx303=-dtett303+dxexx303=dxeexxx303利用积分中值定理,得dxexx333=ee330.(其中30)又xex3在3,3上不恒等于0,故0333dxexx.注在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性.3.5证明中值的存在性命题例9设函数xf在1,0上连续,在1,0内可导,且陕西理工学院毕业论文第7页共10页13203fdxxf,证明1,0,使0f,证明由积分中值定理得ffdxxff321330132,（其中132）又因为xf在1,0上连续,在1,0内可导.故xf在，0上满足罗尔定理条件,可存在一点100，，,使0f.注在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理求解,掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的.3.6证明不等式例10求证.201122011036193dxxx证明.1120111133610193610619dxxdxxx其中1,0,于是由11121363即可获证.例11证明21232102xxdx.证明估计连续函数的积分值dxxfba的一般的方法是求xf在ba,的最大值M和最小值m,则abMdxxfabmba.因为2321492222xxx1,0x,所以21232102xxdx.例12证明.10112101109dxxx证明估计积分dxxgxfba的一般的方法是:求xf在ba,的最大值M和最小值m,又陕西理工学院毕业论文第8页共10页若0xg,则dxxgMdxxgxfdxxgmbababa.本题中令0,119xxgxxf10x.因为11121x1,0x所以1011212101109109109dxxdxxxdxx.例13证明22041222edxeexx.证明在区间20，上求函数xxexf2的最大值M和最小值m.xxexxf212,令0xf,得驻点21x.比较21f,0f,2f知4121ef为xf在20，上的最小值,而22ef为xf在20，上的最大值.由积分中值定理得0202220412edxeexx,即22041222edxeexx.注由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如11和12例题时,可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.3.7证明函数的单调性例14设函数xf在，0上连续,dttftxxFk02,试证:在，0内,若xf为非减函数,则xF为非增函数.证明dtttfdttfxdttftxxFkkk00022,对上式求导,得陕西理工学院毕业论文第9页共10页