2020年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析

第1页（共27页）2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD的最小值为．第2页（共27页）4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，第3页（共27页）B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D，与y轴交于点E，且DE：BE＝2：3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）a＝，c＝；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；第4页（共27页）（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？第5页（共27页）2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析参考答案与试题解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD＝2﹣y，CD＝＝，∴设t＝+，等式变形为：t+y﹣＝，则t的最小值时考虑y的取值即可，∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2＝y2+1，∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1＝0，△＝（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，∴t的最小值为，∴y＝，∴点D的坐标为（0，），故选D．第6页（共27页）解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有5个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．第7页（共27页）②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，第8页（共27页）线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB＝＝，∴OE＝OB﹣EB＝，∵F（，t），EF2＝EB2，∴（）2+（t+）2＝（）2，解得t＝或，故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤第9页（共27页）【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD的最小值为6．【分析】将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明PA＝PE，PD＝ED′，根据两点之间线段最短得到答案．【解答】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，∵∠BAD＝30°，∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′，∴BD′＝＝6，∠ABP＝45°，又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE，又∵△APD≌△AED′，∴PD＝ED′，根据两点之间线段最短，第10页（共27页）∴AP+BP+PD的最小值＝PB+PE+ED′＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意轴对称变换的性质的正确运用．4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【分析】（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE＝90°即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH＝DC，从而有CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC，如图1，第11页（共27页）∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝OC，∴OC＝＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．第12页（共27页）∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，