递推数列的通项的求法

专题研究一递推数列的通项的求法专题讲解题型一累加法[an＋1＝an＋f(n)型](1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________．【解析】∵an＋1＝an＋n＋1，∴a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n，以上n－1个式子相加，得an＝a1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2＋1.【答案】n2＋n＋22(2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，求an.【解析】方法一：∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an＋1－an＝lnn＋1n，∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…，a2－a1＝ln21.∴an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnn.又a1＝2，∴an＝lnn＋2.方法二：∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an＋1－an＝lnn＋1n.又a1＝2，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＋2＝lnn＋2.即an＝lnn＋2.【答案】an＝lnn＋2★状元笔记★利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)求通项公式的方法称为累加法．累加法是求形如an＋1＝an＋f(n)的递推数列通项公式的基本方法，其中f(n)可求前n项和．思考题1(1)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，求数列{an}的通项公式．【解析】累加法：由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.【答案】an＝22n－1(2)如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第2个数是________.1223324774511141156162525166……………………【解析】设第n行的第2个数为an，不难得出规律an＋1＝an＋n，累加得an＝a2＋2＋3＋…＋(n－1)＝n2－n＋22.【答案】n2－n＋22题型二累乘法[an＋1＝an·f(n)型]设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项公式是an＝________．【解析】原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＋1＋an0，∴an＋1an＝nn＋1.则a2a1＝12，a3a2＝23，a4a3＝34，…，anan－1＝n－1n，逐项相乘，得ana1＝1n，又a1＝1，故an＝1n.【答案】1n★状元笔记★利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2…anan－1(an≠0)求通项公式的方法称为累乘法．累乘法是求形如an＋1＝g(n)an的递推数列通项公式的基本方法，其中g(n)可求前n项积．思考题2已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋2an，求通项公式an.【解析】由已知得an＋1an＝nn＋2，分别令n＝1，2，3，…，(n－1)，代入上式得n－1个等式累乘，即a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝13×24×35×46×…×n－2n×n－1n＋1，所以ana1＝2n（n＋1）.即n≥2时，an＝43n（n＋1）.又因为a1＝23也满足该式，所以an＝43n（n＋1）.【答案】an＝43n（n＋1）题型三换元法[构造新数列]已知数列{an}，其中a1＝43，a2＝139，且当n≥3时，an－an－1＝13(an－1－an－2)，求通项公式an.【解析】设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为bn－1＝13bn－2，{bn}是一个等比数列．b1＝a2－a1＝139－43＝19，公比为13，故bn－1＝b1·(13)n－2＝19(13)n－2＝(13)n.故an－an－1＝(13)n.由累加法，可得an＝32－12(13)n.【答案】an＝32－12(13)n★状元笔记★通过换元构造等差或等比数列从而求得通项．思考题3(1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝an2(n是正整数)，则它的通项公式an＝________．【解析】由题意知an0，将an＋1＝an2两边取对数，得lgan＋1＝2lgan，即lgan＋1lgan＝2，所以数列{lgan}是以lga1＝lg3为首项，公比为2的等比数列．lgan＝lga1·2n－1＝2n－1·lg3，即an＝32n－1.【答案】32n－1(2)数列{an}中，a1＝1，且当n≥2时，an＝an－12an－1＋1，求通项公式an.【解析】将an＝an－12an－1＋1两边取倒数，得1an－1an－1＝2，这说明{1an}是一个等差数列，首项是1a1＝1，公差为2，所以1an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝12n－1.【答案】an＝12n－1题型四待定系数法[构造新数列](1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式an.【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)即an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.(2)在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式an.【解析】方法一：原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①比较系数得λ＝－4，①式即是：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1.即an＝4·3n－1－5·2n－1.方法二：将an＋1＝2an＋4·3n－1的两边同除以3n＋1.得：an＋13n＋1＝23·an3n＋432，令bn＝an3n.则bn＋1＝23bn＋49，以下略．(3)在数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当n∈N*，an＋2＝5an＋1－6an，求通项公式an.【解析】an＋2＝5an＋1－6an可化为an＋2＋λan＋1＝(5＋λ)(an＋1＋λan)．比较系数得λ＝－3或λ＝－2，不妨取λ＝－2.代入可得an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)．则{an＋1－2an}是一个等比数列，首项a2－2a1＝2－2(－1)＝4，公比为3.∴an＋1－2an＝4·3n－1.利用上题结果有：an＝4·3n－1－5·2n－1.当λ＝－3时结果相同．【答案】(1)an＝2n＋1－3(2)an＝4·3n－1－5·2n－1(3)an＝4·3n－1－5·2n－1★状元笔记★(1)形如an＋1＝αan＋β的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列．(2)本题的递推公式是an＋1＝αan＋β的推广an＋1＝αan＋β×γn，两边同时除以γn＋1后得到an＋1γn＋1＝αγ·anγn＋βγ，转化为bn＋1＝kbn＋βγ的形式，通过构造公比是αγ的等比数列{bn－βγ（1－k）}求解．思考题4(1)(2017·山东济宁)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(2－1)(an＋2)，则数列{an}的通项公式为________．【解析】因为an＋1＝(2－1)(an＋2)，所以an＋1－2＝(2－1)(an－2)．设bn＝an－2，则bn＋1＝(2－1)bn，即bn＋1bn＝2－1，b1＝a1－2＝2－2，因此数列{bn}是以2－1为公比，以2－2为首项的等比数列．所以bn＝(2－2)×(2－1)n－1＝2×(2－1)n，所以an＝2(2－1)n＋2.【答案】an＝2(2－1)n＋2(2)(2017·武汉市二中月考)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝()A．－3×2n－1B．3×2n－1C．5n＋3×2n－1D．5n－3×2n－1【解析】方法一：在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得an＋15n＋1＝25×an5n＋35，①令an5n＝bn，则①式变为bn＋1＝25bn＋35，即bn＋1－1＝25(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝a15－1＝－35，公比为25，所以bn－1＝(－35)×(25)n－1，即bn＝1－35×(25)n－1，所以an5n＝1－35×(25)n－1＝1－3×2n－15n，故an＝5n－3×2n－1.方法二：设an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较得k＝－1，即an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，则an－5n＝－3×2n－1，故an＝5n－3×2n－1.故选D项．【答案】D题型五公式法[Sn与an的关系式](1)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝4，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.求数列{an}的通项公式．【解析】方法一：由an＋1＝Sn＋3n，得an＝Sn－1＋3n－1(n≥2)．两式相减，得an＋1－an＝an＋2×3n－1.∴an＋1＝2an＋2×3n－1(n≥2)．两边同除以2n＋1，得an＋12n＋1＝an2n＋3n－12n(n≥2)．当n≥2时，an2n＝a222＋(a323－a222)＋(a424－a323)＋…＋(an2n－an－12n－1)＝a24＋322＋3223＋…＋3n－22n－1＝74＋34[1－（32）n－2]1－32＝14＋(32)n－1，∴an＝2n－2＋2×3n－1（n≥2），4（n＝1）.方法二：依题意，得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n.由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴数列{Sn－3n}是首项为S1－31＝1，公比为2的等比数列．因此Sn－3n＝2n－1，n∈N*.∴Sn＝3n＋2n－1.因此an＝Sn－Sn－1S1＝2n－2＋2×3n－1（n≥2），4（n＝1）.【答案】an＝2n－2＋2×3n－1（n≥2），4（n＝1）(2)(2018·河南西平高级中学月考)已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则{an}的通项公式是________．【解析】设Sn＝2a1＋22a2＋…＋2nan则Sn－1＝2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1(n≥2)∴Sn－Sn－1＝2n·an＝(4n－1)－(4n－1－1)＝4n－4n－1＝3·4n－1＝3·22n－2∴an＝34·2n(n≥2)当n＝1时，a1＝32也成立．【答案】an＝34·2n★状元笔记★已知Sn与an的关系求通项：(1)已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，要注意运用an和Sn的关系，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(2)对于形如Sn＝f(an)求an常有两种处理方法：①由Sn＝f(an)，得Sn－1＝f(an－1)两式作差，得an＝f(an)－f(an－1)(n≥2)．②将an换成Sn－Sn－1，即Sn＝f(Sn－Sn－1)，先求出Sn，再求出an.思考题5(1)已知{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，则通项公式an＝________．【解析】方法一：∵Sn＋1－Sn＝Sn，∴Sn＋1＝2Sn.因此{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，2为公比的等比数列．∴Sn＝2n－1，∴an＝2n－2（n≥2），1（n＝1）.方法二：由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1(n≥2