高中数学-柯西不等式与排序不等式

3.13.2柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2ababab及几种变式.2.已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc定理：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.变式：2222||abcdacbd或2222||||abcdacbd或2222abcdacbd.定理：设1212,,,,,,,nnaaabbbR，则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab（当且仅当1212nnaaabbb时取等号，假设0ib）变式：222212121()nnaaaaaan.定理：设,是两个向量，则||||||.等号成立？（是零向量，或者,共线）练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式：①定理：设1122,,,xyxyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.变式：若112233,,,,,xyxyxyR，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？例1：求函数31102yxx的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式变式：31102yxx→推广：,(,,,,,)yabxcdefxabcdefR例2：若,xyR，2xy，求证：112xy.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：222211111111()()[()()][()()]22xyxyxyxyxy…讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知321xy，求22xy的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313xyxyxy.讨论：其它方法（数形结合法）练习：已知a、bR，求证：11()()4abab.例1：已知321xyz，求222xyz的最小值.练习：若,,xyzR，且1111xyz，求23yzx的最小值.变式：若,,xyzR，且1xyz，求222xyz的最小值.变式：若,,xyzR，且1xyz，求xyz的最大值.例2：若abc，求证：cacbba411.要点：21111()()[()()]()(11)4acabbcabbcabbc例3已知正数,,abc满足1abc证明2223333abcabc证明：利用柯西不等式23131312222222222abcaabbcc222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc故2223333abcabc例4设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。练习：已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当236121316bcd时等号成立，代入111,,36bcd时，max2a211,,33bcd时min1a3.3排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12aa···na;12bb···nb.12,,cc···nc是12,bb，···,nb的任一排列,则有1122abab···+nnab(同序和)1122acac+···+nnac(乱序和)121nnabab+···+1nab(反序和)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时，反序和等于同序和.排序不等式的应用：例1：设12,,,naaa是n个互不相同的正整数，求证：32122211112323naaaann.证明过程：设12,,,nbbb是12,,,naaa的一个排列，且12nbbb，则121,2,,nbbbn.又222111123n，由排序不等式，得3322112222222323nnaabbababnn…小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知,,abc为正数，求证：3332222()()()()abcabcbaccab.解答要点：由对称性，假设abc，则222abc，于是222222aabbccacbacb，222222aabbccabbcca，两式相加即得.