第五章：极限环振荡 第四节

§5.4极限环振荡在IIR滤波器中由于存在反馈环，舍入处理在一定条件下引起非线性振荡，如零输入极限环振荡。掌握：概念、产生的原因、克服方法。一、IIRDF零输入极限环振荡舍入处理的非线性运算，导至零输入极限环振荡；量化处理是非线性的，在DF中由于运算过程中的尾数处理，使系统引入了非线性环节，数字滤波器变成了非线性系统。对于非线性系统，当系统存在反馈时，在一定条件下会产生振荡，数字滤波器也一样。IIR滤波器是一个反馈系统，在无限精度情况下，如果它的所有极点都在单位圆内，这个系统总是稳定的，当输入信号为零后，IIR数字滤波器的响应将逐步趋近于零。但同一滤波器，以有限精度进行运算时，当输入信号为零时，由于舍入引入的非线性作用，输出不会趋于零，而是停留在某一数值上，或在一定数值间振荡，这种现象为“零输入极限环振荡”。111)(azzH例：设一阶IIRDF的系统函数为：无限精度运算时，差分方程为：在定点制中，每次乘法运算后都必须对尾数作舍入处理，这时的非线性差分方程为：（有限精度）[.]R表示舍入运算，上述运算过程的非线性流图如图。)()1()(nxnayny)()1()(nxnyanyR若输入为字长b=3，系数a=0.100。无限精度时，系统的极点为z=a=0.51，在单位圆内，系统稳定。若输入变为零，输出也逐渐衰减到零，但有限精度时，由于舍入处理，系统可能会进入死区。000111.08/7)(nnnx05.087)(nnyn下面是非线性差分方程的运算结果，nx(n)00.1110.0000.00000.0000.111(7/8)10.0000.1110.01110.1000.100(1/2)20.0000.1000.01000.0100.010(1/4)30.0000.0100.00100.0010.001(1/8)40.0000.0010.00010.0010.001(1/8)……)1(ˆnyaRnya)]1(ˆ[)1(ˆny)(ˆny可见，输出停留在y（n）=0.001上再也衰减不下去了，如图（a），y（n）=0.001以下也称为“死带”区域，如果系数a=-0.5，为负数，则每乘一次a就改变一次符号，因此输出将是正负相间的,如图（b），这时y（n）在±0.125之间作不衰减的振荡，这种振荡现象就是“零输入极限环振荡”。振荡产生的原因：考察上述非线性差分方程的运算结果，在最后一行，当=0.001时，=0.0001，经舍入处理后又进位为=0.001,仍与的值相同，因此输出保持不变。这可解释为，只要满足时，舍入处理使系数a失效，或者说相当于将a换成了一个绝对值为1的等效系数，，这时极点等效迁移到单位圆上，系统失去稳定，出现振荡。)1n(yˆ1)]-(nyˆ[aR)1(ˆnya)1(ˆnyRnya)]1(ˆ[)1(ˆnyaaaa111)(zzH极限振荡幅度与字长的关系：•极限环振荡的幅度与量化阶成正比；与极点位置和滤波器阶数有关；•增加字长，可减小极限环振荡。高阶IIR网络中，同样有这种极限环振荡现象，但振荡的形式更复杂。不一一讨论。2)1()1(qnaynyaRaqny12)1(舍入误差范围：极限环振荡时)1()1(nynyaR5.4.2大信号极限环振荡（溢出振荡）如果在IIR滤波器的定点补码加法运算中存在溢出，则会造成在输出端引入很大的误差，在一定条件下，滤波器就会在大幅度的极限值之间产生振荡，这种极限环称为溢出振荡。以定点补码为例。补码加法器的输入输出关系，即溢出特性：在2的补码运算中，二进制小数点左面的符号位若为1，就表示负数。如果两个正的定点数相加大于1，进位后符号变为1，和数就可理解为负数，因此，2的补码累加器的作用，好象对真实总和作了一个非线性变换，且输出具有循环的特性，如图。EbertPM,MazoJE,andTaylorMC.OverflowOscillationsinDigitalFilter.BellSystemTechnicalJ.,1969,V0l.48:2999-3030.x1、x2两数相加，若真值为x1+x2=x，而用补码加法规律所得的值为f[x]，|x|1,未溢出时，f[x]=x，当发生溢出时，f[x]值具有循环的特点:当1x2，x超过1，f[x]变成负值，而当x小于-1时，f[x]出现正值。它是周期为2的周期性函数。用函数表示为（其中K为整数）：,11[](2),1,1xxfxfxKxx•f[4.15]=f[0.15]=0.15•f[-2.75]=-0.75且有f[f[f···f[x1]+x2+x3]+···]+xm]=f[x1+x2+x3+···xm]：由此得到补码的一个主要特性——只要最后相加结果不溢出，即使中间结果有溢出也不影响运算。补码加法33311848243311848233784873188431420.011,0.110,0.001,1.1000.0110.1101.001()1.0010.0011.010()1.0101.10010.110溢出最后的结果把进位项（最高位）1丢掉，则为0.110=3/412ˆˆˆ()[(1)(2)]()ynQaynaynxn120.75;0.75;aa例研究由下例给出的二阶IIR滤波器的溢出极限环的产生：式中：x(n)为一有限长随机输入信号。y=d-2*(ceil((d-1)/2));当n增大时输出序列不会趋于零，而总是在一定的幅度间振荡。a1+a21，有溢出克服溢出振荡：1）限制滤波器系数的取值，可防止溢出振荡，但这也限制了设计能力。2）较好的解决方法是采用具有饱和溢出处理的补码加法器，如图，当输入时，把加法结果限制在最大值或最小值，以消除溢出振荡。处理时如检测到有溢出振荡，就把总和置于最大允许值。不让加法器进位，从而避免系统的崩溃。1x具有饱和溢出处理的补码加法器输入输出特性x)(xf1101极限环振荡的产生原因及其处理方法：舍入误差增加字长加法溢出饱和溢出处理