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9.4直线与圆、圆与圆的位置关系第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-2-1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.5.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,会简单应用空间两点间的距离公式.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-3-1.直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有三种:相切、相交、相离.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组,消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ=b2-4ac0⇔相交,=0⇔相切,0⇔相离.②几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:dr⇔相交,d=r⇔相切,dr⇔相离.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-4-(2)圆的切线方程若圆的方程为x2+y2=r2,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为x0x+y0y=r2.注:点P必须在圆x2+y2=r2上.经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-5-想一想在求过一定点的圆的切线方程时,应注意什么?答案:(1)首先判断点与圆的位置关系,若点在圆上,该点即为切点,则切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条;若点在圆内,无切线.(2)若求出的切线条数与判断不一致,则可能漏掉了切线斜率不存在的情况.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-6-(3)直线与圆相交:直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=d2+𝑙22,即l=2𝑟2-𝑑2,求弦长或已知弦长求其他量的值,一般用此公式.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-7-2.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种:相离、外切、相交、内切、内含.(2)判断圆与圆的位置关系常用方法①几何法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径为r1,r2(r1≠r2),则|O1O2|r1+r2⇔相离;|O1O2|=r1+r2⇔外切;|r1-r2||O1O2|r1+r2⇔相交;|O1O2|=|r1-r2|⇔内切;|O1O2||r1-r2|⇔内含.②代数法:方程组𝑥2+𝑦2+𝐷1x+𝐸1y+𝐹1=0,𝑥2+𝑦2+𝐷2x+𝐸2y+𝐹2=0,有两组不同的实数解⇔两圆相交;有两组相同的实数解⇔两圆相切;无实数解⇔两圆相离或内含.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-8-3.在空间直角坐标系中,O叫做坐标原点,x,y,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫做坐标平面.这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系:即伸开右手,使拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,中指指向z轴的正方向.也可这样建立坐标系:令z轴的正方向竖直向上,先确定x轴的正方向,再将其按逆时针方向旋转90°就是y轴的正方向.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-9-4.空间点的坐标设点P(x,y,z)为空间坐标系中的一点,则点P(1)关于原点的对称点是(-x,-y,-z);(2)关于x轴的对称点是(x,-y,-z);(3)关于y轴的对称点是(-x,y,-z);(4)关于z轴的对称点是(-x,-y,z);(5)关于xOy坐标平面的对称点是(x,y,-z);(6)关于yOz坐标平面的对称点是(-x,y,z);(7)关于xOz坐标平面的对称点是(x,-y,z).5.空间两点间的距离设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2+(𝑧1-𝑧2)2.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-10-答案解析解析关闭∵圆心(-1,0)到直线x-y+1=0的距离d=|-1-0+1|2=0,∴直线过圆心.答案解析关闭B基础自测1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心,但与圆相交D.相离第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-11-2.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0D.x-3y+2=0答案解析解析关闭设切线方程为y-3=k(x-1),由d=r,可求得k=33.故方程为x-3y+2=0.答案解析关闭D第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-12-3.两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.内含答案解析解析关闭两圆方程可化为x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为O1(0,1),O2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2.∵|O1O2|=1=r2-r1,∴两圆内切.答案解析关闭B第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-13-4.(2013山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0答案解析解析关闭该切线方程为y=k(x-3)+1,即kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为|𝑘×1-0-3𝑘+1|𝑘2+(-1)2=1,得k=0或43,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),95,-35,故所求直线的方程为2x+y-3=0.故选A.答案解析关闭A第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-14-5.已知A(x,2,3),B(5,4,7),且|AB|=6,则x的值为.答案解析解析关闭由空间两点间的距离公式,得(𝑥-5)2+(2-4)2+(3-7)2=6,即(x-5)2=16,解得x=1或x=9.答案解析关闭1或9第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-15-6.已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为,公共弦长为.答案解析解析关闭设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点满足方程x2+y2+2x-6y+1=0与x2+y2-4x+2y-11=0,将两个方程相减得3x-4y+6=0,即为两圆公共弦所在直线的方程.易知圆C1的圆心C1(-1,3),半径r=3,用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线的距离为:d=|-1×3-4×3+6|32+42=95.所以利用勾股定理得到|AB|=2𝑟2-𝑑2=245,即两圆的公共弦长为245.答案解析关闭3x-4y+6=0245第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-16-考点一考点二考点三考点四答案解析解析关闭由题意知a2+b2r2,所以圆心(0,0)到直线ax+by-r2=0的距离d=𝑟2𝑎2+𝑏2r,即直线与圆相离,无交点.答案解析关闭A考点一直线与圆的位置关系及其应用【例1】点M(a,b)是圆x2+y2=r2内异于圆心的一点,则直线ax+by=r2与圆的交点个数为()A.0B.1C.2D.需要讨论确定第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-17-考点一考点二考点三考点四方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法:代数法与几何法.由于几何法一般比代数法计算量小,简便快捷,所以更容易被人接受.同时,由于它们的几何性质非常明显,所以利用数形结合,并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-18-考点一考点二考点三考点四举一反三1圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案解析解析关闭因为圆心到直线的距离为|9+12-11|5=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.答案解析关闭C第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-19-考点一考点二考点三考点四考点二圆与圆的位置关系及其应用【例2】圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离答案解析解析关闭圆O1的圆心为(-2,0),r1=2,圆O2的圆心为(2,1),r2=3,|O1O2|=42+12=17,因为r2-r1|O1O2|r1+r2,所以两圆相交.答案解析关闭B第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-20-考点一考点二考点三考点四方法提炼1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手.如果用代数法,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.2.利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-21-考点一考点二考点三考点四举一反三2设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=()A.4B.42C.8D.82答案解析解析关闭依题意,可设圆心坐标为(a,a),半径为r,其中r=a0,因此圆方程是(x-a)2+(y-a)2=a2,由圆过点(4,1),得(4-a)2+(1-a)2=a2,即a2-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心C1,C2的横坐标,|C1C2|=2×102-4×17=8.答案解析关闭C第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-22-考点一考点二考点三考点四考点三圆的切线和弦长问题【例3】过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为.答案解析解析关闭圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=1,可知圆心为(1,2),半径为1.设直线方程为y=kx,则圆心到直线的距离为d=|𝑘-2|1+𝑘2,故有|𝑘-2|1+𝑘2=0,解得k=2.故直线方程为y=2x,即2x-y=0.答案解析关闭2x-y=0第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-23-考点一考点二考点三考点四方法提炼1.求过一点的圆的切线方程,首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点;若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜式方程,用待定系数法求解.注意,需考虑无斜率的情况.求弦长问题,要充分运用圆的几何性质.2.直线与圆相交求弦长有两种方法(1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ0的前提下,利用根与系数的关系求弦长.弦长公式l=1+𝑘2·|x1-x2|=(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2]=1+𝑘2·𝛥|𝑎|.其中a为一元二次方程中的二次项系数.(2)几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2𝑟2-𝑑2.代数法计算量较大,我们一般选用几何法.第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-24-考点一考点二考点三考点四举一反三3若直线y=x+b与曲线y=3-4𝑥-𝑥2有公共点,则b的取值范围是()A.[1-22,1+22]B.[1-2,3]C.[-1,1+22]D.[1-22,3]答案解析解析关闭y=3-4𝑥-𝑥2变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.若直线y=x+b与曲线y=3-4𝑥-𝑥2有公共点,只需直线y=x+b在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=x+b与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离为2,即|2-3+𝑏|2=2,解得b=1-22或b=1+22(舍去),∴b的取值范围为1-22≤b≤3.故选D.答案解析关闭D第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-25-考点一考点二考点三考点四答案解析解析关闭设M(0,y,0),由(1-0)2+(0-y)2+(2-0)2=(1-0)2+(-3-y)2+(1-0)2,解得y=-1,即M(0,-1,0).答案解析关闭(0,-1,0)考点四空间直角坐标系【例4】在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且点M
本文标题:【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:9.4 直线与圆、圆与圆的位置
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