[原创]2012年《高考风向标》高考理科数学一轮复习 第三章 第6讲 函数与方程 [配套课件]

第6讲函数与方程1．函数的零点(1)方程f(x)＝0有⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有⇔函数y＝f(x)有零点．实根交点f(a)·f(b)0(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是连续不断的，且有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．2．二分法(1)如果函数y＝f(x)在区间[m，n]上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做．f(m)·f(n)0二分法(2)给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤如下：[m，n]f(m)·f(n)0ε①确定区间，验证，给定精度；②求区间的中点；[m，n]x1③计算f(x1)：若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的；若f(m)·f(x1)0，则令(此时零点x0∈(m，x1))；若f(x1)·f(n)0，则令(此时零点x0∈(x1，n))．零点n＝x1m＝x12．lgx－＝0有解的区域是(1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()AA．(0,0.5)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)B．(0,1)，f(0.25)D．(0,0.5)，f(0.125))B1xA．(0,1]B．(1,10]C．(10,100]D．(100，＋∞)3．设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝.(－∞，－2)∪(6，＋∞)4．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是．25．如图3－6－1的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(填序号).图3－6－1①③考点1估算方程的解的范围例1：利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的()A．(0.6,1.0)B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2)D．(2.6,3.0)解题思路：判断函数f(x)＝2x－x2在各个区间两端点的符号．解析：由f(0.6)＝1.516－0.360，f(1.0)＝2.0－1.00，故排除A；由f(1.4)＝2.639－1.960，f(1.8)＝3.482－3.240，故排除B；由f(1.8)＝3.482－3.240，f(2.2)＝4.595－4.840，可确定方程2x＝x2的一个根位于下列区间(1.8,2.2)，故选C.估算方程的解的范围，通常用二分法按步骤去操作．【互动探究】1．若函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是．{a|a1}解析：设函数y＝ax(a0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图像可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合，当a1时，因为函数y＝ax(a1)的图像过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a1.考点2二分法的应用例2：已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明函数f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明函数f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过1.4解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，设x1x2，则lnx1lnx2,2x12x2.∴lnx1＋2x1－6lnx2＋2x2－6，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln20，∴f(2)·f(3)0，∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点，又由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此至多一个根，从而函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(3)f(2)0，f(3)0，∴f(x)的零点x0在(2,3)上，取x1＝52，∵f52＝ln52－10，∴f52·f(3)0，∴x0∈52，3.取x1＝114，∵f52＝ln114－120，【互动探究】2．已知f(x)的图像是连续不断的，有如下的x与f(x)的对应值表：则函数f(x)存在零点的区间是(2,3)，(4,5)∴f52·f1140，∴x0∈114，52.而114－52＝14≤14，∴114，52即为符合条件的区间．考点3一元二次方程根的分布例3：是否存在这样的实数k，使得关于x的方程x2＋(2k－3)x－(3k－1)＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，请说明理由．解析：令f(x)＝x2＋(2k－3)x－(3k－1)，那么由条件得到2234333101302422331032002kkxxfkfkkk，即24501311322kkkk此不等式无解，即不存在满足条件的k值．【互动探究】3．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．解：(1)由已知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图如图3－6－2，得图3－6－2120210120114202265056mfmmRfmfmfmm∴－56m－12.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组10021102012120110mffmmmmm或，无解，故m不存在．错源：解方程组时没有注意转换的等价性例4：当实数a为何值时，圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0与抛物线y2＝12x有两个公共点？误解分析：没有对根的符号进行分类讨论．正解：将圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0与抛物线y2＝12x联立，消去y得：x2－2a－12x＋a2－1＝0(x≥0)①，因为有两个公共点，所以方程①有一正根、一负根；或有两个相等的正根，当方程①有一正根、一负根时，有x1x2＝a2－10，解之，得－1a1.当方程①有两个相等的正根得2011720,2810aaa解得，因此，当a＝178或－1a1时，圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0与抛物线y2＝12x有两个公共点．【互动探究】4．当实数a为何值时，圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0与抛物线y2＝12x.(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点．解：由222221012xyaxayx，消去y得：x2－2a－12x＋a2－1＝0(x≥0)①，(1)有一个公共点：方程①一根为零另一根为负根，即a＝－1.(2)有三个公共点：方程①一根为零另一根为正根，即a＝1.(3)有四个公共点：方程①有两不等正根，即20120210aa，解得1a178.(4)没有公共点：方程①无实根或有两负根，即201020210aa或，解得a178或a－1.例5：已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4423xaa，若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝log4(4x＋1)＋kx＝f(－x)＝log4414xxkx，解得k＝－12.(2)f(x)＝log4(4x＋1)－12x，又f(x)＝g(x)，则4412234203xxxxaa，所以(a－1)22x－4a32x－1＝0，记2x＝t(t0)，方程h(t)＝(a－1)t2－4a3t－1＝0有且只有一个正数根．①当a＝1时，h(t)＝－43t－1＝0无正实根；②当a≠1时，Δ＝169a2＋4(a－1)＝0，解得a＝34或a＝－3，而当a＝34时，t＝－20；当a＝－3时，t＝120；与二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布有关的结论：(1)方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小⇔a·f(r)＜0.当Δ＝169a2＋4(a－1)0，即a34或a－3，方程有两根，则有t1t2＝1a－10，解得a1.综上所述，当a∈{－3}∪(1，＋∞)时，函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点．(2)二次方程f(x)＝0的两根都大于r⇔24020bacbraafr(3)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根⇔240200bacbpqaafqafp(4)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)＜0，或f(p)＝0，另一根在(p，q)内或f(q)＝0，另一根在(p，q)内．(5)方程f(x)＝0的两根中一根小于p，另一根大于q(p＜q)⇔00afpafq.1．设函数f(x)＝(1＋x)2－ln(1＋x)2.(1)求函数f(x)的单调区间；1(2)当x∈e－1，e－1时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；(3)关于x的方程f(x)＝x2＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．解：(1)函数定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．f′(x)＝2x＋1－1x＋1＝2xx＋2x＋1.由f′(x)0，得－2x－1或x0；由f′(x)0，得x－2或－1x0.因此递增区间是(－2，－1)，(0，＋∞)；递减区间是(－∞，－2)，(－1,0)．(2)由(1)知，f(x)在1e－1，0上递减，在[0，e－1]上递增．又f1e－1＝21e＋2，f(e－1)＝e2－2，且e2＋221e－2,所以x∈1e－1，e－1时，f(x)max＝e2＋2.故me2＋2时，不等式f(x)m恒成立.(3)方程f(x)＝x2＋x＋a，即x－a＋1－ln(1＋x)2＝0.记g(x)＝x－a＋1－ln(1＋x)2，则g′(x)＝1－21＋x＝x－1x＋1.由g′(x)0，得x－1或x1；由g′(x)0，得－1x1.所以g(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增.为使f(x)＝x2＋x＋a在[0,2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)＝0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根，于是有001020ggg，解得2－2ln2a≤3－2ln3.故实数a的取值范围是2－2ln2a≤3－2ln3.2．关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．)A其中假命题的个数是(A．0B．1C．2D．3解析：据题意，令|x2－1|＝t(t≥0)①，则方程化为t2－t＋k＝0②，作出函数y＝|x2－1|的图像，结合函数的图像可知：(1)当t＝0或t1时，方程①有2个不等的根；(2)当0t1