[原创]2012年《高考风向标》高考理科数学一轮复习 第四章 第1讲 导数的概念及运算 [配套课件]

第四章导数1．导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．v2(x)常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a＞0且a≠1)；常用的导数运算法则：法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．u(x)法则3：v(x)′＝u′(x)v(x)－u(x)v′(x)(v(x)≠0)．(c)′＝0(c为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈N*)；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae(a＞0且a≠1)．3．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)．(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次)．4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：1．导数的常规问题：(1)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)．(2)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于n次多项式的导数问题属于较难类型．2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便．3．导数与解析几何或函数图像的混合问题是一种重要类型，以导数为数学工具考察导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识．4．定积分主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，在定积分背景下考查微积分在物理中的有关应用的小题，也要时常注意．另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．第1讲导数的概念及运算1．用定义求函数的导数的步骤(1)求函数的改变量Δy.(2)求平均变化率ΔyΔx.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0，y0)的切线的_______.斜率(3)取极限，得导数f′(x0)＝0limxΔyΔx.为常数)；(xn)′＝nxn-1(n∈R)；1物理意义：若物体运动方程是s＝s(t)，在点P(t0，s(t0))处导瞬时速度数的意义是t＝t0处的__________.3．几种常见函数的导数c′＝0(c－sinxxex(sinx)′＝____；(cosx)′＝_____；(lnx)′＝___；(ex)′＝___；1xlogae(logax)′＝________(a0且a≠1)；(ax)′＝_______(a0且a≠1)．axlnacosx4．运算法则(1)求导数的四则运算法则：(u±v)′＝_________；(uv)′＝_________；______________________.y′x＝y′u·u′x中，坐标为整数的点的个数是()DA．3B．2C．1D．0u′±v′u′v＋uv′uv′＝_____________(v≠0)．(2)复合函数的求导法则：f′x[φ(x)]＝____________或u′v－uv′v2f′(u)φ′(x)1．在函数y＝x3－8x的图像上，其切线的倾斜角小于π4的点3．曲线y＝x3＋x＋1在点(1,3)处的切线方程是________.2．若f(x)在x0处可导，则f′(x0)等于()A.0limxf(x0)－f(x0－Δx)ΔxB.0limxf(x0＋Δx)－f(x0－Δx)ΔxC.0limxf(x0＋Δx)－f(x0－2Δx)ΔxD.0limxf(x0＋2Δx)－f(x0－Δx)ΔxAy＝4x－14．质量为5kg的物体运动的速度为v＝(18t－3t2)m/s，在时间t＝2s时所受外力为_____N.30解析：∵v′＝18－6t，∴v′|t=2＝18－6×2＝6.∴t＝2时物体所受外力F为6×5＝30.16±1a所围成的三角形的面积为，则a＝____.5．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝考点1导数概念解题思路：由定义直接计算．例1：设函数f(x)在x0处可导，则0limxf(x0－Δx)－f(x0)Δx等于()A．f′(x0)B．－f′(x0)C．f(x0)D．－f(x0)解析：f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－0limxf[x0＋(－Δx)]－f(x0)(－Δx)＝－f′(x0)．故选B.求解本题的关键是变换出定义式：＝g＝9.8m/s，则下列说法正确的是()CA．0s～1s时间段内的速率为9.8m/sB．在1s～(1＋Δt)s时间段内的速率为9.8m/sC．在1s末的速率为9.8m/sD．若Δt＞0，则9.8m/s是1s～(1＋Δt)s时段的速率；若【互动探究】0limxf(x＋Δx)－f(x)Δx＝f′(x0)．1．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S＝12gt2，其中t为经历的时间，g＝9.8m/s2，若V＝0limtS(1＋Δt)－S(1)ΔtΔt＜0，则9.8m/s是(1＋Δt)s～1s时段的速率考点2曲线的几何意义例2：如图4－1－1，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝_________.图4－1－1解题思路：区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上．解析：观察图4－1－1，设P(5，f(5))，过P点的切线方程为y－f(5)＝f′(5)(x－5)，即y＝f′(5)x＋f(5)－5f′(5)，它与y＝－x＋5重合，比较系数知：f′(5)＝－1，f(5)＝3，故f(5)＋f′(5)＝2.求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；若不是则需设出切点坐标．【互动探究】A2．(2010年全国Ⅱ)若曲线y＝12x在点12(,)aa处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8解析：y′＝－1232x，∴k＝－1232a，切线方程是y－12a＝－1232a(x－a)，令x＝0，y＝3212a，令y＝0，x＝3a，∴三角形的面积是s＝12·3a·3212a＝18，解得a＝64.故选A.考点3导数的物理意义例3：某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40min的降雨强度为()A．20mmB．400mmC.12mm/minD.14mm/min解析：f′(t)＝1210t·10＝510t，∴f′(40)＝5400＝14，故选D.【互动探究】3．设球的半径为时间t的函数．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径()DA．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为2cC．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为2c解析：由题意可知球的体积为V(t)＝43πR3(t)，则c＝V′(t)＝4πR2(t)R′(t)，由此可cR(t)R′(t)＝4πR(t)，而球的表面积为S(t)＝4πR2(t)，所以v表＝S′(t)＝(4πR2(t))′＝8πR(t)R′(t)，即v表＝8πR(t)R′(t)＝2×4πR(t)R′(t)＝2cR(t)R′(t)R′(t)＝2cR(t)，故选D.错源：过点求切线方程应注意该点是否为切点(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情形．正解：(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x=2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.例4：已知曲线y＝13x3＋43.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.解：∵y＝2x2＋3，∴y′＝4x.∴y′|x=1＝4，即过点P的切线的斜率为4，故切线为：y＝4x＋1.设过点Q的切线的切点为T(x0，y0)，则切线的斜率为4x0，又kQT＝y0－9x0－2，即切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：y＝4x＋1或y＝12x－15.纠错反思：要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．【互动探究】4．求y＝2x2＋3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程．故2x20－6x0－2＝4x0，∴2x20－8x0＋6＝0.∴x0＝1或x0＝3.【互动探究】－2解析：f′(x)＝2x＋3f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.例5：若函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为_____．解析：∵f′(x)＝－f′π4·sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4·sinπ4＋cosπ4⇒f′π4＝2－1.故fπ4＝f′π4cosπ4＋sinπ4⇒fπ4＝1.5．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝_____.1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)(y0＝f(x0))．2．导数的实际背景：在物理学中，如果物体运动的规律是s＝s(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度v＝s′(t0)．如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a＝v′(t0)．在代数学中，导数的实际意义就是瞬时增长率、瞬时变化率．在经济学中，生产x件产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x件产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)．相应地，它们的导数C′(x)，R′(x)和P′(x)分别称为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数．