高中数学专题：抛物线

抛物线专题复习一、抛物线的知识点：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式022ppxyxyOFl0,0x轴0,2p2px1e02xpPF)(21xxpAB022ppxyxyOFl0,0x轴0,2p2px1e02xpPF)(21xxpAB022ppyx0,0y轴2,0p2py1e02ypPF)(21yypAB022ppyx0,0y轴2,0p2py1e02ypPF)(21yypAB通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆通径：pd2奎屯王新敞新疆AB为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx42p，BAyy2p，||AB=pxxBA考点1抛物线的定义[例1]已知点P在抛物线xy42上，则点P到点)1,2(Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为考点2抛物线的标准方程[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点)2,3(；(2)焦点在直线240xy上考点3抛物线的几何性质[例3]设BA,为抛物线pxy22上的点,且OAOB(2为原点),则直线AB必过的定点坐标为_______[例4]设F是抛物线2:4Gxy的焦点．（I）过点(04)P，作抛物线G的切线，求切线方程；（II）设AB，为抛物线G上异于原点的两点，且满足,0FBFA延长AF,BF分别交抛物线G于点CD，，求四边形ABCD面积的最小值．二．基本题型1．过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)AxyBxy两点，如果621xx，那么||AB=()（A）10（B）8（C）6（D）42．已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222()()PxyPxy，，，，333()Pxy，在抛物线上，且||1FP、||2FP、||3FP成等差数列，则有（）A．321xxxB．321yyyC．2312xxxD.2312yyy3．已知M为抛物线xy42上一动点，F为抛物线的焦点，定点1,3P，则||||MFMP的最小值为（）（A）3（B）4（C）5（D）64．过抛物线02aaxy的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，则||1||1QFPF（）（A）a2（B）a21（C）a4（D）a45．已知抛物线C：24yx的焦点为,F准线为,l过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A的坐标为()A．(2,22)B．(2，－22)C．(2，±2)D．(2，±22)6．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA（）A.45B.60C.90D.1207．两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是25，且,ba则抛物线2()ybax的焦点坐标为（）A．1(0,)4B．1(0,)4C．1(,0)2D．1(,0)48．抛物线,42Fxy的焦点为准线为ll,与x轴相交于点,E过F且倾斜角等于3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点,,lABA垂足为,B则四边形ABEF的面积等于（）A．33B．34C．36D．389．已知抛物线C：212xy,过点(0,4)A和点(,0)Bt的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(,1)(1,)B.22(,)(,)22C．(,22)(22,)D．(,22)(2,)10．如果1P，2P，…，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，…，8x，F是抛物线的焦点，若)(,,,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则||5FP=（）．A．5B．6C．7D．911．设O是坐标原点，F是抛物线24yx的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为．12．若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a13．若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p的值14．(文)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．15．抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点M,为准线与y轴的交点A,为抛物线上一点,且3||,17||AFAM，求此抛物线的方程．16．在抛物线24yx上求一点，使该点到直线45yx的距离为最短，求该点的坐标．17．设抛物线22ypx(0p)的焦点为,F经过点F的直线交抛物线于BA,两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．18．已知直线bxy与抛物线pxy220p相交于A、B两点，若OBOA，（O为坐标原点）且52AOBS，求抛物线的方程．19．椭圆12222byax上有一点)59,4(在抛物线pxy22（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求||||NQMN的最小值.20．椭圆C1：2221(04xyb＜b＜2)的离心率e3,2抛物线C2：22(xpyp＞0)的焦点在椭圆C1的顶点上．(1)求抛物线C2的方程；(2)若过(1,0)M的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．21．已知抛物线C：24yx的焦点为,F过点(1,0)K的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：，点F在直线BD上；(2)设8.9FAFB求BDK的内切圆M的方程．20．(文)[解析](1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝4－b2，由离心率e＝ca＝4－b22＝32得，b2＝1.(理)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y＝14x2，∴y′＝12x，∴切线l1，l2的斜率分别为12x1，12x2，当l1⊥l2时，12x1·12x2＝－1，即x1·x2＝－4，由y＝kx＋1x2＝4y得：x2－4kx－4k＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)0，解得k－1或k0.又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.∴直线l的方程为x－y＋1＝0.21．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)(1)将x＝my－1(m≠0)代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4①直线BD的方程为y－y2＝y2＋y1x2－x1(x－x2)，即y－y2＝4y2－y1x－y224令y＝0，得x＝y1y24＝1，所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由(1)知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1因为FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，FA→·FB→＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝89，解得m＝±43，直线l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.从而y2－y1＝±4m2－4×4＝±437，故4y2－y1＝±37因而直线BD的方程为3x＋7y－3＝0,3x－7y－3＝0.因为KF为∠BKD的角平分线，故可设圆心M(t,0)，(－1t1)，M(t,0)到直线l及BD的距离分别为3|t＋1|5，3|t－1|4，由3|t＋1|5＝3|t－1|4得t＝19或t＝9(舍去)，故圆M的半径为r＝3|t＋1|5＝23，所以圆M的方程为x－192＋y2＝49.例4（I）设切点2004xQx，．由2xy，知抛物线在Q点处的切线斜率为02x，故所求切线方程为2000()42xxyxx．即20424xxyx．因为点(0)P，在切线上．所以2044x，2016x，04x．所求切线方程为24yx．（II）设11()Axy，，22()Cxy，．由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设0k．因直线AC过焦点(01)F，，所以直线AC的方程为1ykx．点AC，的坐标满足方程组214ykxxy，，得2440xkx，由根与系数的关系知121244.xxkxx，2222212121212()()1()44(1)ACxxyykxxxxk．因为ACBD，所以BD的斜率为1k，从而BD的方程为11yxk．同理可求得22214(1)41kBDkk．2222218(1)18(2)322ABCDkSACBDkkk≥．当1k时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．