高中数学苏教选修1-2课件：第一章-统计与案例-1.2

阶段一阶段二阶段三学业分层测评1.2回归分析1.会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解线性回归模型，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点、难点3.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.[基础·初探]教材整理1线性回归模型阅读教材P13～P14，完成下列问题1.线性回归模型的概念：将y＝称为线性回归模型，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差.a＋bx＋ε2.线性回归方程：直线y^＝a^＋b^x称为线性回归方程，其中a^称为回归截距，b^称为回归系数，y^称为回归值，其中b^＝∑ni＝1xiyi-nx-y-∑ni＝1x2i-nx-2，a^＝y--b^x-.其中x-＝1n∑ni＝1xi，y-＝1n∑ni＝1yi.设某大学生的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x-85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).【导学号：97220003】(1)y与x具有正的线性相关关系(2)回归直线过样本点的中心(x，y)(3)若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg(4)若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【解析】回归方程中x的系数为0.850，因此y与x具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x，y)，(2)正确；∵回归方程y^＝0.85x-85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，(3)正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确.【答案】(1)(2)(3)教材整理2相关关系阅读教材P16～P17“例2”以上部分完成下列问题1.是精确刻画线性相关关系的量.2.相关系数r＝∑ni＝1xi-x-yi-y-∑ni＝1xi-x-2∑ni＝1yi-y-2＝∑ni＝1xiyi-nx-y-∑ni＝1x2i-nx-2∑ni＝1y2i-ny-2.相关系数3.相关系数r具有的性质：(1)|r|≤1；(2)|r|越接近于1，x，y的线性相关程度；(3)|r|越接近于0，x，y的线性相关程度.4.相关性检验的步骤：(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1-0.95＝0.05与n-2在附录1中查出一个r的临界值r0.05(其中1-0.95＝0.05称为检验水平).越强越弱(3)计算样本相关系数r；(4)作统计推断：若|r|r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系.判断正误：(1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.()(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.()(3)若相关系数r＝0，则两变量x，y之间没有关系.()【答案】(1)√(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问3：______________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]回归分析的有关概念(1)有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y^＝b^x＋a^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.其中正确命题是__________(填序号).(2)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y^＝b^x＋a^＋e(单位：亿元)，其中b^＝0.8，a^＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿.【自主解答】(1)①反映的正是最小二乘法思想，故正确.②反映的是画散点图的作用，也正确.③解释的是回归方程y^＝b^x＋a^的作用，故也正确.④在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系，故不正确.(2)由题意可得：y^＝0.8x＋2＋e，当x＝10时，y^＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，∴9.5≤y^≤10.5.故今年支出预计不会超过10.5亿.【答案】(1)①②③(2)10.51.在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程.2.由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值.3.随机误差的主要来源(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；(2)省略了一些因素的影响产生的误差；(3)观测与计算产生的误差.4.残差分析是回归分析的一种方法.[再练一题]1.下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号).①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.【解析】只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程.【答案】④求线性回归方程某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生学科成绩ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩.【精彩点拨】先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用线性回归模型求解.【自主解答】(1)散点图如图所示.(2)由散点图可知y与x之间具有线性相关关系.因为x-＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y-＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，∑5i＝1xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054，∑5i＝1x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以b^＝∑5i＝1xiyi-5x-y-∑5i＝1x2i-5x-2＝25054-5×73.2×67.827174-5×73.22≈0.625，a^＝y--b^x-≈67.8-0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是y^＝0.625x＋22.05.(3)当x＝96时，y^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.1.求线性回归方程的基本步骤：2.需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.[再练一题]2.某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场调查中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：x35404550y56412811(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程.(方程的回归系数保留一位有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润.【解】(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关.设回归直线为y^＝b^x＋a^，由题知x-＝42.5，y-＝34，则求得b^＝∑4i＝1xiyi-4x-y-∑4i＝1x2i-4x-2＝-370125≈-3.a^＝y--b^x-＝34-(-3)×42.5＝161.5.∴y^＝-3x＋161.5.(2)依题意有P＝(-3x＋161.5)(x-30)＝-3x2＋251.5x-4845＝-3x-251.562＋251.5212-4845.∴当x＝251.56≈42时，P有最大值，约为426.即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.[探究共研型]线性回归分析探究1作散点图的目的是什么？【提示】直观分析数据是否存在线性相关关系.探究2下表显示出变量y随变量x变化的一组数据，由此判断表示y与x之间的关系最可能的是________.(填序号)x45678910y14181920232528①线性函数模型；②二次函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.【解析】画出散点图(图略)，可以得到这些样本点在一条直线附近，故最可能是线性函数模型.【答案】①10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.(1)y与x是否具有相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程.【精彩点拨】可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性做出判断.【自主解答】(1)由已知表格中的数据，求得x＝71，y＝72.3，r＝i＝110xi-xyi-yi＝110xi-x2i＝110yi-y2≈0.78.由检验水平0.05及n-2＝8，在课本附录1中查得r0.05＝0.632，因为0.780.632，所以y与x之间具有很强的线性相关关系.(2)y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为y^＝a^＋b^x，则有b^＝i＝110xi-xyi-yi＝110xi-x2≈1.22，a^＝y--b^x-＝72.3-1.22×71＝-14.32.所以y关于x的回归直线方程为y^＝1.22x-14.32.1.线性回归分析必须进行相关性检验；若忽略，则所求回归方程没有实际意义.2.|r|越接近于1，两变量相关性越强，|r|越接近于0，两变量相关性越弱.[再练一题]3.关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系.【解】x-＝17×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，y-＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，∑7i＝1x2i＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，∑7i＝1xiyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，∑7i＝1y2i＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝∑7i＝1xiyi-7x-y-∑7i＝1x2i-7x-2∑7i＝1y2i-7y-2＝18542-7×27.4×81.35414-7×27.42124393-7×81.32≈0.8375.∵0.83750.755，∴x与y之间具有线性相关关系.[构建·体系]1.在下列各量之间，存在相关关系的是：①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系.【答案】②③④2.根据如下样本数据