高考数学圆锥曲线综合题题库2 含详解

26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的离心率为36，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：OM＝cosOA＋sinOB成立。解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为36ac，所以有32222aba，故有223ba。从而椭圆C的方程可化为：22233byx①………2分易知右焦点F的坐标为（0,2b），据题意有AB所在的直线方程为：bxy2②………3分由①，②有：0326422bbxx③设),(),,(2211yxByxA，弦AB的中点),(00yxN，由③及韦达定理有：.422,423200210bbxybxxx所以3100xyKON，即为所求。………5分(2）显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM，有且只有一对实数,，使得等式OBOAOM成立。设),(yxM，由1）中各点的坐标有：),(),(),(2211yxyxyx，所以2121,yyyxxx。………7分又点在椭圆C上，所以有22212213)(3)(byyxx整理为2212122222212123)3(2)3()3(byyxxyxyx。④由③有：43,22322121bxxbxx。所以06936)(234)2)(2(332222212121212121bbbbxxbxxbxbxxxyyxx⑤又A﹑B在椭圆上，故有22222221213)3(,3)3(byxbyx⑥将⑤，⑥代入④可得：122。………11分对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式OBOAOM成立，而122在直角坐标系yox中，取点P（,），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然sin,cos。也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角（∈R）使等式：OM＝cosOA＋sinOB成立。27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线2:yl的距离小1。（1）求曲线C的方程；（2）过点.,,)2,2(PBAPBACmP设两点交于与曲线的直线①当m求直线时,1的方程；②当△AOB的面积为24时（O为坐标原点），求的值。（1）解法一：设1|2|||),,(yMFyxM则由题设得，…………1分即1|2|)1(22yyx当yxyyxy4,1)1(,2222化简得时；…………3分当,3)1(,222yyxy时…………4分化简得3882yyx与不合故点M的轨迹C的方程是yx42…………5分（1）解法二：2:)0,1(ylFM的距离比它到直线到点点的距离小于1，∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线1:yl的距离相等…………3分为准线的抛物线为焦点是以的轨迹点lFCM,所以曲线C的方程为yx42…………5分（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为)22(),2(2kkxyxky即，代入0)1(84422kkxxyx得（☆）…………6分mRkkk直线所以恒成立对,,0)22(162与曲线C恒有两个不同的交点设交点A，B的坐标分别为),(),,(2211yxByxA，则)1(8,42121kxxkxx…………7分①由的中点是弦得点且ABPPBAP1,，01,44,421yxmkkxx的方程是直线得则…………9分②)22)(1(4]4))[(1()()(||22122122212212kkkxxxxkyyxxAB点O到直线m的距离21|22|kkd，242)1()1(422|1|4||21kkkkkdABSABO…………10分24)1()1(4,2424kkSABO，2)1(1)1(,02)1()1(2224kkkk或（舍去）20kk或…………12分当,0时k方程（☆）的解为22若223122222,22,2221则xx若223222222,22,2221则xx…………13分当,2时k方程（☆）的解为224若223222222,224,22421则xx若223222222,224,22421则xx…………14分所以，223223或28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为31，v的直线l过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0，32)，椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上。⑴求椭圆C的方程。⑵过点E(-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，且满足0cot634MONONOM，(O为坐标原点)，求直线m的方程。解：⑴直线:323lyx①，过原点垂直于l的直线方程为33yx②解①②得32x，∵椭圆中心O(0，0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴23232ac，…………………（2分）∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴222,6,2cab，故椭圆C的方程为22162xy③…………………（4分）⑵当直线m的斜率存在时，设:(2)mykx，代入③并整理得2222(31)121260kxkxk，设1122(,)(,)MxyNxy，，则2212122212126,3131kkxxxxkk……………（5分）∴2222121212226(1)11()431kMNkxxkxxxxk，……（7分）点O到直线m的距离221kdk.∵46cot3OMONMON，即4coscos63sinMONOMONMONMON，又由0ONOM得cos0MON，∴42sin6633OMNOMONMONS，…………………………（9分）而12OMNSMNd，∴463MNd，即222226(1)463131kkkk，解得33k，此时3:(2)3myx…………………………………（11分）当直线m的斜率不存在时，:2mx，也有263OMNS，经检验，上述直线m均满足0OMON，故直线m的方程为3202xyx或29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知12(2,0),(2,0)FF，点P满足12||||2PFPF，记点P的轨迹为E.（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若直线l过点2F且与轨迹E交于P、Q两点.（i）设点(,0)Mm，问：是否存在实数m，使得直线l绕点2F无论怎样转动，都有0MPMQ成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.（ii）过P、Q作直线12x的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记||||||PAQBAB，求的取值范围.解：（Ⅰ）由12||||2PFPF12||FF知，点P的轨迹E是以1F、2F为焦点的双曲线右支，由2,22ca，∴23b，故轨迹E的方程为).1(1322xyx…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为(2)ykx，与双曲线方程联立消y得0344)3(2222kxkxk，设11(,)Pxy、22(,)Qxy，∴2212221223004034303kkxxkkxxk，解得23k………………………………………（5分）（i）∵1212()()MPMQxmxmyy212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433xmxmkxxkxxkmxxmkkkkkmmkkk2223(45)3mkmk……………………（7分）假设存在实数m，使得0MPMQ，故得2223(1)(45)0mkmm对任意的32k恒成立，∴2210450mmm，解得1.m∴当1m时，0MPMQ.当直线l的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)PQ及(1,0)M知结论也成立，综上，存在1m，使得0MPMQ.…………………………………………（8分）（ii）∵1,2ac，∴直线12x是双曲线的右准线，…………………………（9分）由双曲线定义得：2211||||||2PAPFPFe，21||||2QBQF，方法一：∴221211||||2||2||kxxPQAByy221211||2|()|kxxkxx221111.2||2kkk…………………………………………（10分）∵23k，∴21103k，∴1323………………………………………（11分）注意到直线的斜率不存在时，21|,|||此时ABPQ，综上，.33,21………………………………………………………………（12分）方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，∴233，过Q作QCPA，垂足为C，则||2PQC，∴||||2||2||PQPQABCQ112sin2cos()2……………………………………………………（10分）由233，得3sin1,2故：13,2330、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线)0,0(12222babyax的离心率e＝2，且1B、2B分别是双曲线虚轴的上、下端点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅰ）若双曲线过点Q（2，3），求双曲线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若M、N是双曲线上不同的两点，且2221,BMBNBMBN，求直线MN的方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（Ⅰ）∵双曲线方程为2),0,0(12222ebabyax∴22223,2aacbac，∴双曲线方程为132222ayax，又曲线C过点Q（2，3），∴9,3,13342222baaa∴双曲线方程为.19322yx………………5分（Ⅱ）∵22BMBN，∴M、B2、N三点共线新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∵21BMBN,∴1MNBN（1）当直线MN垂直x轴时，不合题意新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）当直线MN不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，－3），可设直线MN的方程为3kxy，①∴直