归纳推理-ppt稿件

第1章推理与证明创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．－－－Ｇ．波利亚．从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球,第二个是红玻璃球,第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候,我们立刻会出现一种猜想:“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球?”但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候,这个猜想失败了;这时,我们会出现另一个猜想:“是不是袋里的东西,全部都是玻璃球?”但是,当有一次摸出来的是一个木球的时候,这个猜想又失败了;那时我们会出现第三个猜想:“是不是袋里的东西都是球?”这个猜想对不对,还必须继续加以检验……华罗庚教授曾经举过一个例子:2.在一般的数学活动中:(1).我们怎样进行推理?(2).我们怎样验证(证明)结论?考察下面三个推理案例:(1)前提:当n=0,1,2,3,4,5,时,n2-n+11分别等于11,11,13,17,23,31,都是质数.结论:对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数.(2)前提:矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和.结论:长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和.(３)前提:所有的树都是植物，梧桐是树。结论:梧桐是植物●上述几个案例中的推理各有什么特点？从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.1.什么叫推理?2.推理由哪几部分组成?从结构上说,推理一般由前提和结论两个部分组成;前提是推理所依据的命题,是已知的事实(或假设),结论是根据前提推得的命题(即由已知推出的判断).建构数学:3.数学推理（方式）演绎（逻辑）推理合情推理4.数学思维（方式）逻辑思维直觉思维1.1.1合情推理——归纳推理1.1.1合情推理-1.归纳推理例1.三角形的内角和是1800,凸四边形的内角和是3600,凸五边形的内角和是5400,…由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×1800.2212222232331332333例，，，，由此我们猜想：bbmaam，（a，b，m均为正数）例3、由下图可以发现什么结论？1=12,1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……1+3+5+7+……+(2n-1)=n2，1.这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上(它是一种合情推理).即是由部分到整体,由个别到一般的推理建构数学:2.归纳推理的思维过程归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是:(2).归纳推理包括和。个别一般不完全归纳法完全归纳法猜测一般性结论实验、观察概括、推广注:(1)归纳推理即由特殊到一般;思考:列举几个归纳推理的例子,并检查当n=6,7,8,9,10,11时案例(1)中结论是否正确.由此你能得到什么结论?⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想归纳推理的一般步骤：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明（检验猜想正确性的唯一标准是能否进行严格的数学证明——这也是数学的理性光辉之所在）人类思维的花朵，抽象思维的牡丹——科学发现的主要途径之一。例4、已知数列{an}中，a1=1，且an+1=(n=1,2,…)试归纳出这个数列的通项公式。nna1a1nan数学应用例5.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有个点.(1)(2)(3)(4)(5)21nn例6.(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,f(4)=,当n4时,f(n)=.(用n表示)5(3)(2)2ff(4)(3)3ff(5)(4)4ff()(1)1fnfnn累加得:()(2)234(1)fnfn1(2)(1)2nn3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6(大于4)的偶数都等于两个奇质数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，歌德巴赫猜想的提出过程1＋1=2122npp哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。近代数学三大难题.doc这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。陈景润与哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。1232nppp哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)在陈景润之前，关於偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s+t”问题)之进展情况如下:1920年，挪威的布朗(Brun)证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了“6+6”。1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5”。1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“4+4”。1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。1956年，中国的王元证明了“3+4”。1957年，中国的王元先後证明了“3+3”和“2+3”。1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。1965年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3”。1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。最终会由谁攻克“1+1”这个难题呢？现在还没法预测。哥德巴赫猜想.doc例8:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598668612812610多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式例8.大师的唯一失误与欧拉的又一贡献法国数学家费马于1640年提出猜想-----费马猜想形如的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数。2()21nFn要说（证）明一个猜想是不正确的，只需举（找到）一个反例即可。（反例与证明的价值是同等重要的！）费马没有给出证明小结2.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).1.什么是归纳推理（简称归纳）?部分整体个别一般练习已知数列{an}的前n项和Sn,且计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.12,3a12(2).nnnSanS12,3S23,4S34,5S456S猜想:12nnSn计算得: