空间向量运算的坐标表示练习题

课时作业(十七)[学业水平层次]一、选择题1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)【解析】b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．【答案】A2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为()A.534B.532C.532D.132【解析】∵AB的中点M2，32，3，∴CM→＝2，12，3，故|CM|＝|CM→|＝22＋122＋32＝532.【答案】C3．(2014·德州高二检测)已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是()A．－6B．－23C.23D．14【解析】由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝23.【答案】C4.(2014·河南省开封高中月考)如图3­1­32，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()图3­1­32A．1B.52C.62D.32【解析】以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，2)，F2，1，22，所以|EF|＝1－22＋1－12＋2－222＝62，故选C.【答案】C二、填空题5．(2014·青岛高二检测)已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为________．【解析】设OQ→＝λOP→＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA→·QB→＝6λ2－16λ＋10＝6λ－432－23，当QA→·QB→取最小值时，λ＝43，此时Q点的坐标为43，43，83.【答案】43，43，836．若AB→＝(－4,6，－1)，AC→＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB→，a⊥AC→，则a＝________.【解析】设a＝(x，y，z)，由题意有a·AB→＝0，a·AC→＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：x＝313，y＝413，z＝1213，或x＝－313，y＝－413，z＝－1213.【答案】313，413，1213或－313，－413，－12137．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.【解析】因为AB→＝(m－1,1，m－2n－3)，AC→＝(2，－2,6)，由题意得AB→∥AC→，则m－12＝1－2＝m－2n－36，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.【答案】0三、解答题8．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE→⊥b？(O为原点)【解】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝02＋－52＋52＝52.(2)OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋tAB→＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE→⊥b，则OE→·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝95，因此存在点E，使得OE→⊥b，E点坐标为－65，－145，25.9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心．求证：OA1→⊥AM→.【证明】建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，M0，0，12，O12，12，0.∴OA1→＝12，－12，1，AM→＝－1，0，12.∵OA1→·AM→＝12×(－1)＋－12×0＋1×12＝0，∴OA1→⊥AM→.[能力提升层次]1．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为()A．－2B．2C．3D．－3【解析】∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.【答案】A2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．【答案】A3．(2014·玉溪高二检测)设动点P在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是________．【解析】由题设可知，以DA→、DC→、DD1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则D1B→＝(1,1，－1)，得D1P→＝λD1B→＝(λ，λ，－λ)，所以PA→＝PD1→＋D1A→＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC→＝PD1→＋D1C→＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于PA→·PC→＜0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2＜0，即(λ－1)(3λ－1)＜0，解得13＜λ＜1，因此λ的取值范围是13，1.【答案】13，14.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？图3­1­33【解】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(3，1,0)，B1(3，1,2)，M32，32，0.又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则AB1→＝(3，1,2)，MN→＝－32，12，m，所以|AB1→|＝22，|MN→|＝m2＋1，AB1→·MN→＝2m－1.如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量AB1→和MN→的夹角等于45°或135°.又cos〈AB1→，MN→〉＝AB1→·MN→|AB1→||MN→|＝2m－122×m2＋1.所以2m－122×m2＋1＝±22，解得m＝－34，这与0≤m≤2矛盾．所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.