11-4-函数展开成幂级数(修改稿)

第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、小结一、泰勒级数上节例题)11()1ln()1(11xxnxnnnnnnxxaxf)()(00存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?证明即内收敛于在),()()(000xfxuxxannnnnxxaxxaaxf)()()(0010定理1如果函数)(xf在)(0xU内具有任意阶导数,且在)(0xU内能展开成)(0xx的幂级数,即nnnxxaxf)()(00则其系数),2,1,0()(!10)(nxfnann且展开式是唯一的.)(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得令,0xx),2,1,0()(!10)(nxfnann泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的xf10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次,得泰勒系数如果)(xf在点0x处任意阶可导,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(称为)(xf在点0x的泰勒级数.nnnxnf0)(!)0(称为)(xf在点0x的麦克劳林级数.问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)(定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.0,00,)(21xxexfx例如),2,1,0(0)0()(nfn且00)(nnxxf的麦氏级数为.0)(),(xs内和函数该级数在可见).()(,0xfxfs于的麦氏级数处处不收敛外除在x=0点任意可导,定理2)(xf在点0x的泰勒级数,在)(0xU内收敛于)(xf在)(0xU内0)(limxRnn.证明必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii),()()(1xsxfxRnn,)(能展开为泰勒级数设xf)()(lim1xfxsnn)(limxRnn)]()([lim1xsxfnn;0充分性),()()(1xRxsxfnn)]()([lim1xsxfnn)(limxRnn,0),()(lim1xfxsnn即).()(xfxf的泰勒级数收敛于定理3设)(xf在)(0xU上有定义,0M,对),(00RxRxx,恒有Mxfn)()(),2,1,0(n,则)(xf在),(00RxRx内可展开成点0x的泰勒级数.证明10)1()()!1()()(nnnxxnfxR,)!1(10nxxMn),(00RxRxx,),()!1(010收敛在nnnxx,0)!1(lim10nxxnn,0)(limxRnn故.0的泰勒级数可展成点x),(00RxRxx二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann求,)(0lim)2()(MxfRnnn或讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收例1解.)(展开成幂级数将xexf,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfnnxxnxxe!1!2112,0M上在],[MMxnexf)()(Me),2,1,0(nnxxnxxe!1!2112由于M的任意性,即得),(!1!2112xxnxxenx例2.sin)(的幂级数展开成将xxxf解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn,0)0()2(nf,)1()0()12(nnf),2,1,0(n)()(xfn且)2sin(nx1),(x)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x例3.)()1()(的幂级数展开成将xRxxf解,)1)(1()1()()(nnxnxf),1()1()0()(nfn),2,1,0(nnxnnxx!)1()1(!2)1(12nnnaa1lim1nn,1,1R若内在,)1,1(nxnnxxs!)1()1(1)(1)!1()1()1()1()(nxnnxxsnxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2!)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm利用)()1(xsx1222!)1()1(!2)1(nxnnxx)(xs,1)()(xxsxs.1)0(s且两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx)1,1(x得),1ln()0(ln)(lnxsxs即,)1ln()(lnxxs,)1()(xxs)1,1(xnxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2)1,1(x牛顿二项式展开式注意:.1的取值有关处收敛性与在x);1,1(1收敛区间为];1,1(11收敛区间为].1,1[1收敛区间为有时当,21,1)1,1()1(11132nnxxxxx]1,1[!)!2(!)!32()1(64231421211132nnxnnxxxx]1,1[!)!2(!)!12()1(64253142312111132nnxnnxxxx双阶乘2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如)(sincosxx)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),(x)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnnxxdxx021arctan12)1(51311253nxxxxnn]1,1[xxxdxx01)1ln(nxxxxnn132)1(3121]1,1(x例4处展开成泰勒级数在将141)(xxxxf解).1()1()(nfx并求的幂级数展开成)1(3141xx,)311(31x])31()31(311[312nxxx31xxxxx41)1(41nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231x!)1()(nfn于是.3!)1()(nnnf故,31n三、小结1、如何求函数的泰勒级数.2、泰勒级数收敛于函数的条件.3、函数展开成泰勒级数的方法.思考题什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.一、将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间:1、xa；2、)1ln()1(xx;3、xarcsin；4、3)1(1xx.二、将函数3)(xxf展开成)1(x的幂级数,并求展开式成立的区间.三、将函数231)(2xxxf展开成)4(x的幂级数.四、将级数11211)!12(2)1(nnnnnx的和函数展开成)1(x的幂级数.练习题练习题答案一、1、)(!)(ln0xxnannn；2、)11()1()1(111xxnnxnnn；3、)11()2()12()!()!2(21122xxnnnxnn；4、)1,1(112nnxn.二、)1(231x022)21(2)2)(1(3)!()!2()1(nnnnxnnnn)20(x.三、)2,6()4)(3121(011nnnnx.四、02)1()!12(2)1(21sin2nnnnxn),()1()!12(2)1(21cos012nnnnxn.