《试验设计与数据处理》讲稿_第1章(研究生)

1《科学研究的结果和数据处理》主讲：林建联系电话：[phone]Email：[e-mail]2第1节试验数据的误差分析※试验的目的是获得规律，规律的表现形式在于数据※误差存在的客观性※误差范围的可控性和数据的可靠性※本章的主要内容：1.误差来源2.误差表示3.误差估计4.误差传递31.1真值与平均值※真值─客观值或实际值。真值一般是未知的;但从相对的意义上来说，真值又是已知的:理论真值约定真值相对真值※平均值─真值的近似值或估计值。4（1）算术平均值•适用场合：等精度的试验、试验值服从正态分布。–等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试验条件相同的试验。nxnxxxxniin121设有n个试验值：x1，x2，…，xn，则它们的算术平均值为：5（2）加权平均值•设有n个试验值：x1，x2，…，xn，w1,w2,…，wn代表单个试验值对应的权，则它们的加权平均值为：niiniinnnwxwnxwxwxwx112211•适用场合：非等精度的试验、试验值服从正态分布。6权数或权值的确定：•①当试验次数很多时，以试验值xi在测量中出现的频率ni/n作为权数。•②如果试验值是在同样的试验条件下但来源于不同的组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。–加权平均值即为总算术平均值。（见例1-1）•③根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。•例1-2权数的计算：•x1的绝对误差为0.1；x2的绝对误差为0.02，则：•x1的权数为w1=1/0.12=100•x2的权数为w2=1/0.022=2500一般有三种方法7（3）对数平均值•设有两个数值x1、x2，都为正数，则它们的对数平均值为：xxL•注意：•如果0.5≤x1/x2≤2时，可用代替，误差≤4.4％•适用场合：试验数据的分布曲线具有对数特性。121221212121lnlnlnlnxxxxxxxxxxxxxLxLx8（4）几何平均值（5）调和平均值•设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，它们的调和平均值为：nxnxxxHniin12111111•适用场合：试验值的倒数服从正态分布。•适用场合：试验数据取对数后分布曲线更加对称时。nnnnGxxxxxxx12121)(•设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则它们的几何平均值为：91.2误差的基本概念•1.绝对误差绝对误差=试验值－真值△x=x–xt•最大绝对误差的估算：–用仪器的精度等级估算；–用仪器最小刻度估算maxxxxt•真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其大小范围：102.相对误差•由于真值一般为未知，所以相对误差也不能准确求出，通常也用最大相对误差来估计相对误差的大小范围：真值绝对误差相对误差%100tRxxEmaxtttRxxxxE•在实际计算中，常常将绝对误差与试验值或平均值之比作为相对误差，即：或xxERxxER113.算术平均误差•设试验值xi与算术平均值之间的偏差为di，则算术平均误差定义式为：（1-23)•求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所以一定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程度。xndnxxniinii11124.标准误差•标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。•标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或较小的误差敏感性很强，能明显地反映出较大的个别误差。•它常用来表示试验值的精密度：–标准差越小，试验数据精密度越好。•当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：1/)(1)(111221212nnxxnxxndsniniiiniiniinnxxnxxndniniiiniinii11221212/)()(•当试验次数n无穷大时，称为总体标准差σ，其定义为：131.3试验数据误差的来源及分类※1.随机误差指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差。※特点：•在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；•在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差的算术平均值趋于零。※随机误差的来源：偶然因素※随机误差具有一定的统计规律：(1)有界性；(2)正误差和负误差出现的频数大致相等；(3)绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。(4)当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性）。14※2.系统误差•系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。※特点：•系统误差的大小及其符号在同一试验中是恒定的，或在试验条件改变时按照某一确定的规律变化。•当试验条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小。※系统误差的来源：•仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）；•操作不当；•个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）；•试验方法本身的不完善。15※3.过失误差•粗差、人为误差：是一种显然与事实不符的误差。※特点：没有一定的规律。※过失误差的来源：–由于实验人员粗心大意造成的，如读数错误、记录错误或操作失误等。–在测量进行中受到突然的冲击、震动、干扰的影响等。※含有过失误差的实验数据是不能采用的，必须设法从测得的数据中剔除。161.4试验数据的精准度•精准度包含三个概念：精密度、正确度、准确度。1.精密度：反映随机误差的大小程度（集中程度）。2.正确度：反映系统误差的大小程度（正确程度）。3.准确度：又称精确度，简称精度，含有精密、正确两重含义，用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随机误差合成的大小程度。171.5试验数据误差的估计与检验※1随机误差的估计对试验值精密度高低的判断：(1)极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。R＝xmax-xmin(2)标准差：总体标准差σ、样本或子样标准差s反映试验数据的分散程度：–σ或s越小，则数据的分散性越低，精密度越高，随机误差越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。(3)方差：方差即为标准差的平方–方差也反映了数据的分散性，即随机误差的大小。18※2系统误差的检验秩和检验法：检验两组数据之间是否存在显著性差异；证明新试验方法的可靠性。[例1-5]设甲、乙两组测定值为：1.数据按从小到大排序，确定个数据的秩；2.将其中一组的秩相加，称为秩和。记为R1或R2；甲组数据的个数n1=6乙组数据的个数n2=9甲组数据的秩和R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝683.由秩和临界值表（见附录1）可查得R1的上下限T2和T1，如果R1T2或R1Tl，则认为两组数据有显著差异:（本例中：取α=0.05，查得T1=33，T2=63，即R1T2，所以两组数据有显著差异）19※3过失误差的检验※试验数据中:–随机误应要进行估计–系统误差要设法消除–不能含有过失误差※如何判断数据中有“坏值”—判别过失误差的界限–涂改数据是假数据；–不科学地剔除数据也是假数据。※可疑数据取舍的一般原则：(1)试验中发现异常数据，应停止试验，分析原因并纠正。(2)试验后发现异常数据，应先找原因，再进行取舍。(3)在分析数据时，如原因不确切，应对数据进行统计处理；(4)对舍去的数据，在报告中应注明原因或所选用的方法。20（1）拉依达（Pauta）准则—三倍标准差准则※方法：1)计算包括可疑值在内的平均值及标准偏差；2)计算偏差值、偏差值绝对值、3s值或2s值；3)比较偏差绝对值与3s值的大小，如果：则应将xp从该组试验值中剔除。sxxdpp3x序号测定值偏差值及其检验xi10.128-0.012-0.02220.129-0.011-0.02330.131-0.009-0.02540.133-0.007-0.02750.135-0.005-0.02960.138-0.002-0.03270.1410.001-0.03280.1420.002-0.03190.1450.005-0.028100.1480.008-0.025110.1670.027-0.0060.140s0.01123s0.0335xsdi3iidxx21（1）拉依达（Pauta）准则——三倍标准差准则（续）※α——显著性水平，表示检验出错的几率。※3s或2s的选择与显著性水平α有关：3s相当于显著水平α=0.012s相当于显著水平α=0.05※适用场合:测定次数n20※测定次数n10时，应采用其它准则。如：格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等x22(2)格拉布斯(Grubbs)准则※方法：1）计算包括可疑值在内的平均值及标准偏差；2）计算偏差绝对值；3）选取偏差绝对值最大的数据来检验，如果：则应将xp从该组试验值中剔除。从附录2查取。x(,)ppdxxns(,)n序号第一次检验第二次检验xixi110.290.16410.290.111210.330.12410.330.071310.380.07410.380.021410.400.05410.400.001510.430.02410.430.029610.460.00610.460.059710.520.06610.520.119810.820.36610.4510.40s=0.165s=0.078ixxixxxx(0.05,8)2.030.160.320.366s(0.05,7)1.940.0780.150.119s(1)(2)23(3）狄克逊（Dixon）准则※方法：1）将n个试验数据按从小到大的顺序排列；2）检验x1或xn：用附录3所列的公式，计算出f0，如果：若f0f(α，n)，则应该剔除x1或xn。※注意事项：1)可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。2)剔除一个数后，如果还要检验下一个数，则应注意试验数据的总数发生了变化。3)根据测定次数n，确定判别过失误差的准则：n20时，用格拉布斯准则。n20时，用3s准则241.6有效数字和试验结果的表示※1有效数字--能够代表一定物理量的数字(1)有效数字的位数可反映试验的精度或表示所用试验仪表的精度，所以不能随便多写或少写。1.5687g，精度为0.0001g，相对误差为1/156871.5g,精度为0.1g，相对误差为1/15(2)小数点不影响有效数字的位数。第一个非0数前的数字不是有效数字，而第一个非0数后的数字是有效数字。50，0.050，5.0，292位有效数字29.00，5.000，12.474位有效数字(3)在计算有效数字位数时，如果第一位数字等于或大于8，则可以多计一位。9.994位有效数字8.2105位有效数字25※2有效数字的运算规则(1)加、减结果的位数应与其中小数点后位数最少的相同。x先计算,后对齐11.9610.2+0.00322.163先对齐,后计算12.010.2+0.022.2(2)乘积、商的有效数位数，应以各乘、除数中有效数字位数最少的为准。例如：12.6×9.81×0.050中0.050的有效数字位数最少，只有两位，所以有12.6×9.81×0.050=6.2。(3)乘方、开方后的有效数字位数应与其底数的相同。例如：2.42=5.86.28.626(4)对数的有效数字位数与其真数的相同。例如ln6.84=1.92；lg0.00004＝－4。(5)在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位。例如(22.6+22.8+22.5+22.3+22.5)/5=22.54原来只有3位有效数字，而计算结果增加了一位。x(6)取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据的位数如有限制，则应服从原始数据。(7)常数的有效数字位数，根据需要取。(8)一般的工程计算中，取2～3位有效数字。27※3有效数字的修约规则四舍六入尾留双x例如，将下