(专题一)求函数最值问题常用的10种方法

专题一求函数最值问题常用的十种方法前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M一、定义法【例1】设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值．这些命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3C二、函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．【例2】函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________.414或【变式】函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为4，则a＝________.2三、导数法利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．解析因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3，－17.【例3】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．【练习】(江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲_梯形面积（梯形周长）2s设剪成的小正三角形的边长为x2221)3(34)1(23)1(21)3()(xxxxxxs22)1()3)(13(234)('xxxxs递增；，递减；,0)('),131(,0)('],31,0(xsxxsx3332)31()(minsxs四、换元法换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元【例4】设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______．令a＝6cosα，b＝3sinα，α∈R.∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．∴a＋b的最小值是－3.故填－3.13622ba分析：x-xy2-1【练习】求值域：椭圆的参数方程五、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．【例5】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．解析y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a2时，ymin＝f(a)＝a2－2.配方法换元法六、不等式法常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)．【例6】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．xzy2解析y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3,当且仅当x＝3z时取“＝”．.)1(,1322的最小值【练习】求xxxxy2注：分子转化为分母的形式七、数形结合法【例7】对a，b∈R，记max|a，b|＝a，a≥b，b，ab，函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．解析由|x＋1|≥|x－2|，得(x+1)2≥(x-2)2，所以x≥.21,,21,.,21|,2|,21|,1|)(函数有最小值时当由图形易知其图象如图所示所以xxxxxxf.23.23121)21()(min故填所以fxf),2(]0,49.[),49.[),0.[),1(]0,49.[)()()()()(4)()(,2)()(2DCBAxfxgxxxgxgxxxgxfxxg的值域是则，，函数天津【练习】22242)(2222xxxxxxxxxf，，212212)(22xxxxxxxxf，或，D八、线性规划法【例8】已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么22yx的最小值等于________，最大值等于________．画出可行域，如图所示．由条件，得A(2,2)，|OA|=2；B(1,3)，|OB|=；C(1,1)，|OC|=.故最大值为，最小值为.210210.2的最大最小值【练习】求xy九、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地转化为我们易于解决的函数最值问题．【例9】已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为()A.14B.12C.22D.32解析由题意，得1－x≥0，x＋3≥0，定义域为{x|－3≤x≤1}．两边平方得y2＝4＋21－x·x＋3＝4＋2(1－x)(x＋3).所以当x＝－1时，y取最大值M＝22；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，∴mM＝22.故选C.分析对于形如y＝a－cx＋cx＋b的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b)＋2(a－cx)(cx＋b)的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．十、判别式法把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同时为0)的分式函数的最值．【例10】求函数y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．解析∵x2＋3x＋40对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R.∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.当y＝1时，x＝0；当y≠1时，由x∈R，上面的一元二次方程必须有实根，∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，解得17≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝17.