重庆大学 数学实验 方程求解

重庆大学学生实验报告实验课程名称数学实验开课实验室DS1402学院UC联合学院年级2014专业班电气一学生姓名谭浩彬学号20143081开课时间2014至2015学年第二学期总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室：实验时间：年月日课程名称数学实验实验项目名称求解方程实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师龚劬成绩实验目的[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法；[2]掌握迭代算法；[3]熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；[4]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。实验内容1．方程求解和方程组的各种数值解法练习2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。基础实验2．将方程x5+5x3-2x+1=0改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。首先先观察其本身图像：x1=-3:0.01:3;x2=-0.8:0.01:-0.75;y1=x1.^5+5*x1.^3-2*x1+1;y2=x2.^5+5*x2.^3-2*x2+1;subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('原图'),gridon,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('放大'),gridon所以解在-0.76—-0.77之间构造迭代函数：53512xxx1()xfx22215xxxx2()xfx用matlab实现如下：x(1)=-0.77;y(1)=-0.77;fori=2:20x(i)=(x(i-1)^5+5*x(i-1)^3+1)/2;y(i)=(-y(i-1)^5+2*y(i-1)-1)/(5*y(i-1)^2);endk=1:20subplot(2,2,1),plot(k,x),title('f(1)');subplot(2,2,2),plot(k,y),title('f(2)');如图：经观察发现不收敛。设定迭代函数为：534241012515xxxxx1()xfx初始值设置为0.75观察发现收敛。3．求解下列方程组直接使用MATLAB命令：solve()和fsolve()对方程组求解。(1)symsxy[x,y]=solve('2*x-y-exp(-x)=0','2*y-x-exp(-y)=0','x','y')显示如下：x=0.5671y=0.5671(2)symsx1x2x3symsx1x2x3[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12','3*x1*x2+x1*x3-11*x1=0','2*x2*x3+40*x1=0','x1','x2','x3');x1=double(x1),x2=double(x2),x3=double(x3)显示如下：x1=1.0e+002*00000.0100-0.0031-3.8701-0.3270i121212222123121312312(1)25712(2)31102400xxxxexxexxxxxxxxxxx-3.8701+0.3270ix2=-1.54921.5492005.00002.9579-0.3123+50.8065i-0.3123-50.8065ix3=1.0e+002*000+0.0131i0-0.0131i-0.04000.02130.1194-1.5242i0.1194+1.5242i4．编写用二分法求方程根的函数M文件。主函数代码如下：m=input('m=');n=input('n=');y1=feval('fun3',m);y2=feval('fun3',n);k=(m+n)/2;y3=feval('fun3',k);while(y30.00001)if(y3*y10)n=k;elsem=k;endy1=feval('fun3',m);y2=feval('fun3',n);k=(m+n)/2;y3=feval('fun3',k);enddisp('TheAnswerIs:'),y3fun3.m文件代码如下：functionf=fun3(x)f=exp(x)-0.9;7.使用fsolve计算方程组213ln(2)2yxyxyx的解时，为验证初值是否对解有影响，采用随机产生的100组随机数作为初始值，依次进行求解。建立一个名为f的M文件，用于存放输入函数组functionFangcheng=f(x)Fangcheng=[x(1)+x(2)^2-13;log(2*x(1)+x(2))-x(1)^x(2)+2];主函数A=rand(100,2)*5;forn=1:100a=[A(n,1)A(n,2)]f1=fsolve('f',a);x1=f1(1)x2=f1(2)end答案：第几次ax1x212.44003.41231.48803.392922.48921.79061.48803.392934.67994.93461.48803.392951.94640.41991.48803.392960.58571.25151.48803.392971.20214.05671.48803.392983.42450.422112.57090.655194.19632.65631.48803.3929104.85074.00311.48803.3929111.07583.69411.48803.3929123.80170.708312.57090.6551…………………………………分析：由实验可得，取不同的初始值，对解的结果有影响应用实验一、实验内容炮弹发射角的问题炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。进一步思考：如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。二、问题分析可假设发射的角度x和出发直到击中目标所花的时间t，同已知条件作出运动轨迹曲线，观察这条曲线是否经过炮弹的起始点和目标的点，若满足，则证明可行。三、数学模型的建立与求解(一般应包括模型、求解步骤或思路，程序放在后面的附录中)模型建立不考虑水平方向阻力：1假设炮弹重力加速度不随其高度改变而改变，其值保持在g=9.8m/s^2。2假设炮弹在运动过程中只受重力影响3炮弹和其所在环境不发生改变4目标位置固定在距离炮弹水平距离360m、垂直距离160m保持不变5从炮弹开始运动到击中目标总共经历了ts。考虑水平方向的阻力：1假设炮弹重力加速度不随其高度改变而改变，其值保持在g=9.8m/s^2。2假设炮弹在运动过程中只受重力和水平方向阻力影响3炮弹和其所在环境不发生改变4目标位置固定在距离炮弹水平距离360m、垂直距离160m保持不变5初始角度为a，从炮弹开始运动到击中目标总共经历了ts。模型求解（1）忽略空气阻力情况：设v0=200m/s,x0=360m,y0=150m,击中目标的时刻设为t。由速度分解可知，在水平方向上是匀速运动，方程为：tv0cos(a)=x0;式(1)垂直方向为匀变速运动，t时刻方程为：tv0sin(a)-1/2gt2=y0;式(2)（a在0-之间）消去t，易得360*tan(a)-15.876/cos(a)2-160=0（2）考虑空气阻力情况：假设水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s）水平方向上满足方程：dv/dt=0.1v*cos(a);其中v0=200m/s;式(1)（其中a在0-之间）则垂直方向上速度依旧满足方程：tv0sin(a)-1/2gt2=y0;式(2)消去t可得：-2000tana*ln（1-360cos(a)/2000）+(4.9*100/cos(a)2)*ln2（1-36cos(a)/2000）-160=0程序求解（1）忽略空气阻力情况：用matlab作图：a=0:0.1:2*pi;y=360*tan(a)-15.876./cos((a).^2)-160;plot(a,y)gridonholdon得到图像如下：通过放大图像可得：在0-之间满足方程的解为0.454和1.5284（2）考虑空气阻力情况：用matlab作图：a=0.4:0.01:0.6;y=1.6+20*tan(a).*log(1-36*cos(a)./200)+4.9*(log((1-36*cos(a)./200))).^2./(cos(a)).^2;plot(a,y);gridon;放大图像如下：最后在0-之间得到解为0.4733总结与体会1．通过本次试验，我对于掌握迭代算法有了深刻理解；2．并且熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)3．通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。设计记录表格，包括碰到的问题汇总及解决情况题号问题解决情况2迭代公式√3方程求解√4二分法求解√7初值对求解影响√炮弹发射角的问题模型建立，数据处理√教师签名年月日备注：1、同一章的实验作为一个实验项目，每个实验做完后提交电子稿到服务器的“全校任选课数学实验作业提交”文件夹，文件名为“学院学号姓名实验几”，如“机械20073159张新实验一”。2、提交的纸质稿要求双面打印，中途提交批改不需要封面，但最后一次需将该课程所有实验项目内页与封面一起装订成册提交。3、综合实验要求3人合作完成，请在实验报告上注明合作者的姓名。