(新课标)2017版高考数学大一轮-第四章-三角函数-4.4-简单的三角恒等交换-理

第4课时简单的三角恒等交换2016考纲下载1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．请注意1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．课前自助餐二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2,k∈Z)．半角公式(不要求记忆)(1)sinα2＝±1－cosα2；(2)cosα2＝±1＋cosα2；(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝2·2α；α2＝2·α4；3α＝2·3α2都适用．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2；升幂公式cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．1．(课本习题改编)下列各式中，值为32的是________．①2sin15°cos15°；②cos215°－sin215°；③2sin215°－1；④sin215°＋cos215°.答案②2．已知sin10°＝a，则sin70°等于()A．1－2a2B．1＋2a2C．1－a2D．a2－1答案A解析由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2.故选A.3．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由cos2α＝0，得cos2α－sin2α＝0，即cosα＝sinα或cosα＝－sinα.故“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．4．化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1答案C解析2＋cos2－sin21＝2＋cos2－1－cos22＝3＋3cos22＝3cos21＝3cos1.5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．答案17250解析因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725.所以sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝22×1725＝17250.授人以渔题型一求值例1求值：(1)sin18°cos36°；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．【解析】(1)原式＝2sin18°cos18°cos36°2cos18°＝2sin36°cos36°4cos18°＝sin72°4cos18°＝14.(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°(cos5°sin5°－sin5°cos5°)＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin（30°－10°）2sin10°＝cos10°－2（12cos10°－32sin10°）2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.【答案】(1)14(2)32探究1对于给角求值问题，如果所给角是非特殊角，解决这类问题的基本思想有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；(4)当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中进行，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转向，再求关于2α式子的值．思考题1(1)sin10°·sin50°·sin70°.【解析】原式＝cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝2sin40°cos40°cos80°4sin20°＝2sin80°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝sin20°8sin20°＝18.(2)求1＋cos20°2sin20°－2sin10°·tan80°的值．【解析】原式＝2cos210°4sin10°cos10°－2sin10°·sin80°cos80°＝cos10°2sin10°－2sin10°cos10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin（30°－10°）2sin10°＝cos10°－2（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°＝cos10°－2（12cos10°－32sin10°）2sin10°＝32.【答案】(1)18(2)32例2已知cos(π4－α)＝35，－3π2α－π2.求cos(2α－π4)的值．【解析】方法一：cos2(α－π4)＝2cos2(π4－α)－1＝2×(35)2－1＝－725.∵－7π4α－π4－3π4，且cos(π4－α)＝350，从而sin(α－π4)＝45，sin2(α－π4)＝2sin(α－π4)cos(α－π4)＝2425，cos(2α－π4)＝cos[2(α－π4)＋π4]＝22[cos2(α－π4)－sin2(α－π4)]＝－31502.方法二：由cos(π4－α)＝35，得22(cosα＋sinα)＝35.①两边平方，得1＋2cosαsinα＝1825.sin2α＝2cosαsinα＝－725，(cosα－sinα)2＝1－(－725)＝3225.根据2cosαsinα＝－7250及－3π2α－π2，知－3π2α－π，所以cosα0，sinα0.故有cosα－sinα＝－425.②①×②，得cos2α＝－2425.cos(2α－π4)＝22(cos2α＋sin2α)＝－31502.【答案】－31502探究2(1)该题对三角函数性质和三角公式的考查有一定的综合性和灵活性．演算的推理性较强，尤其表现在确定三角函数值的正负时，必须应用一定的技巧，增添了解答的难度．不过，所需要用到的公式和性质，都是最基础的，为多数考生所熟悉．因此，绝大多数的考生都能入手解题，不致束手无策．(2)解决此类问题相对来说，已知条件中的角π4－α，尽量不拆开而作为一个整体去表示其他角，这样可减少运算量．(3)注意下列变换：sin2x＝cos(π2－2x)，sin2x＝－cos(π2＋2x)，cos2x＝sin(π2－2x)，cos2x＝sin(π2＋2x)．以上变换，结合二倍角公式可将2x的三角函数与π4±x的三角函数联系在一起．思考题2若cos(π4＋x)＝35，1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．【解析】∵17π12x7π4，∴5π3π4＋x2π.又cos(π4＋x)＝35，sin(π4＋x)＝－45，∴cosx＝cos[(π4＋x)－π4]＝cos(π4＋x)cosπ4＋sin(π4＋x)sinπ4＝－210.∴sinx＝－7210，tanx＝7.∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx＝2（－7210）·（－210）[phone]＝－2875.【答案】－2875题型二化简例3化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.【解析】方法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.方法二：(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α)＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.方法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β＋1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2αcos2β＝14＋14＝12.方法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)＋12sin2α·sin2β－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)－12·cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－12·[2cos2(α＋β)－1]＝12.【答案】12探究3分式的化简关键是将分子、分母、分解因式，然后约分，运用二倍角的变形公式．可将一些多项式化为完全平方式，便于分解因式．同学们应熟练掌握下列公式．1±sin2α＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.在一些根式的化简中也经常用到上述公式．思考题3化简：（1＋sinα＋cosα）（sinα2－cosα2）2＋2cosα(πα2π)．【解析】原式＝（2cos2α2＋2sinα2cosα2）（sinα2－cosα2）4cos2α2＝2cosα2（cosα2＋sinα2）（sinα2－cosα2）2|cosα2|＝cosα2（sin2α2－cos2α2）|cosα2|＝cosα2（－cosα）|cosα2|，∵πα2π，∴π2α2π.∴cosα20.∴原式＝－cosα2cosα－cosα2＝cosα.【答案】cosα例4(1)函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期为________．(2)函数f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的值域为________．【解析】(1)f(x)＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x2)2＋1＋cos2x2＝14cos22x＋34＝14·1＋cos4x2＋34＝18cos4x＋78，∴f(x)的最小正周期为T＝2π4＝π2.(2)f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π6)，∴f(x)的值域为[－2，2]．【答案】(1)π2(2)[－2，2]探究4三角函数式的化简，经常需要降次，记住下列经常使用的降次公式：cos2x－sin2x＝cos2x，sin2x＝1－cos2x2，cos2x＝1＋cos2x2，sinxcosx＝12sin2x，sin2x＋cos2x＝1.思考题4(2015·浙江文)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，最小值是________．【解析】由题可得f(x)＝22sin(2x－π4)＋32，所以最小正周期T＝π，最小值为3－22.【答案】π3－22求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切