2018-2019学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷

第1页（共20页）2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1．（4分）复数（i是虚数单位）的虚部是．2．（4分）抛物线y＝2x2的准线方程为．3．（4分）在复平面上，复数z1＝1+2i、z2＝3﹣4i分别对应点A、B，O为坐标原点，则＝4．（4分）若一个圆锥的底面面积为9π，母线长为5，则它的侧面积为5．（4分）参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是6．（4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④垂直于同一条直线的两直线平行；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是（写出所有符合要求的序号）7．（5分）已知关于x的实系数方程x2+ax+b＝0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是．8．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．9．（5分）已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经121°、北纬31°，开罗的位置约为东经31°、北纬31°，两个城市之间的距离为（结果精确到1千米）．第2页（共20页）10．（5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sinα＝．11．（5分）若复数z满足|z﹣2|＝|Rez+2|，则|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|的最小值．12．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为线段AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点，则MP+PQ的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能14．（5分）若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．C．D．5π15．（5分）定义：复数z与i的乘积zi为复数z的旋转复数”设复数z＝x+yi（x，y∈R）对应的点（x，y）在曲线x2﹣2xy﹣y＝0上，则z的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）A．y2+2xy﹣x＝0B．y2﹣2xy+x＝0C．y2+2xy+x＝0D．y2﹣2xy﹣x＝016．（5分）已知直线l与抛物线x2＝4y交于A、B两点，若四边形OAMB为矩形，记直线OM的斜率为k，则|k|的最小值为（）A．4B．2C．2D．三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若BD1与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积；第3页（共20页）（2）求异面直线A1A与B1C所成的角的大小．18．（14分）设z+1为关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的虚根，i是虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求p、q的值；（2）若q＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为M，复数2﹣4i所对应的点为N，试求|MN|的取值范围．19．（14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC、EF是底面圆O的两条互相垂直的直径，D为母线AC的中点，已知过EF与D的平面与圆锥侧面的交线是以D为顶点、DO为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；（2）若圆锥的侧面积为8π，求抛物线焦点到准线的距离．20．（16分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biēnào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托第4页（共20页）校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC﹣A1B1C1（图1），A1ABB1是边长为2的正方形．（1）若△ABC是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；（2）若C1D⊥A1B1，D在A1B1上，证明：C1D⊥DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）当阳马A1﹣C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离．21．（18分）设点P（x0，y0）是抛物线Γ：y2＝4x上异于原点O的一点，过点P作斜率为k1、k2的两条直线分别交Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同）．（1）已知点Q（3，0），求|PQ|的最小值；（2）若y0＝6，直线AB的斜率是k3，求的值；（3）若y0＝2，当＝0时，B点的纵坐标的取值范围．第5页（共20页）2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1．（4分）复数（i是虚数单位）的虚部是﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（4分）抛物线y＝2x2的准线方程为．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2＝y故p＝其准线方程为故答案为【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p＝1，因看错方程形式马虎导致错误．3．（4分）在复平面上，复数z1＝1+2i、z2＝3﹣4i分别对应点A、B，O为坐标原点，则＝﹣5【分析】由条件得，，然后计算两向量的数量积即可．【解答】解：由复数z1＝1+2i、z2＝3﹣4i分别对应点A、B，O为坐标原点，得，，∴＝3﹣8＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了复数与向量的关系和向量的数量积，属基础题．第6页（共20页）4．（4分）若一个圆锥的底面面积为9π，母线长为5，则它的侧面积为15π【分析】由已知中圆锥的底面面积及母线长，求出圆锥的底面半径，代入侧面积公式，可得答案．【解答】解：一个圆锥的底面面积为9π，母线长为5，可得圆锥的底面半径为：3，周长为6π，它的侧面积为：＝15π．故答案为：15π．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的底面半径和高，是解答的关键．5．（4分）参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是（3，0）【分析】取y＝0求得θ，代入x＝4﹣sin2θ求得x值，则答案可求．【解答】解：对于（θ∈R），取y＝0，得cosθ＝0，则θ＝，k∈Z．∴x＝4﹣sin2θ＝4﹣＝3．∴参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查由已知三角函数值求角，是基础题．6．（4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④垂直于同一条直线的两直线平行；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是①③（写出所有符合要求的序号）【分析】利用平面直线与直线的位置关系以及点与直线的位置关系，判断空间点与直线，直线与直线的位置关系的真假即可．【解答】解：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；在空间内也成立；第7页（共20页）②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；在空间内，与经过这一点直线垂直的直线有无数条，所以不正确；③平行于同一条直线的两直线平行；这是平行公理，正确；④垂直于同一条直线的两直线平行；在空间中，不成立，因为转化两条直线可以是异面直线；所以不正确；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以是空间四边形，所以不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查平面内直线与直线的位置关系以及空间中直线与直线的位置关系的应用，是基本知识的考查．7．（5分）已知关于x的实系数方程x2+ax+b＝0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是（﹣2，2）．【分析】设出复数z，利用已知条件，结合韦达定理，及|z|＝1，求得b，在根据△＜0求出a的范围．【解答】解：设z＝m+ni，则方程的另一个根为＝m﹣ni，∵方程有一个模为1的虚根，∴m2+n2＝1，由韦达定理有，，又△＝a2﹣4b＝a2﹣4＜0，∴﹣2＜a＜2，∴a的取值范围为（﹣2，2）．【点评】本题考查了实系数方程虚根成对定理和复数的运算性质，考查了方程思想和转化思想，属基础题．8．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，第8页（共20页）对角线长是2，侧棱长是2，高是下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，高是2，组合体的体积包括两部分，写出公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长是2，高是＝下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，高是2，∴组合体的体积是×+π×12×2＝，故答案为：，【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查圆柱的体积和四棱锥的体积，本题是一个基础题，题目只有四棱锥的高需要求出，运算量比较小．9．（5分）已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经121°、北纬31°，开罗的位置约为东经31°、北纬31°，两个城市之间的距离为6571（结果精确到1千米）．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出球面上两点间的距离即可．【解答】解：如图所示，设地球的半径为R，则△AO′B中，∠AO′B＝121°﹣31°＝90°，AO′＝BO′＝Rcos30°＝R，∴AB＝AO′＝R，△AOB中，cos∠AOB＝＝＝；∴∠AOB＝1.0314，∴＝|α|R＝1.0314×6371≈6571（千米），即上海和开罗两个城市之间的距离为6571千米．第9页（共20页）【点评】本题考查了球面上两点之间的距离计算问题，是基础题．10．（5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sinα＝．【分析】棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO＝θ，即可得出．【解答】解：∵棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，∴平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO＝θ，设棱长为：1，A1O＝，AO＝＝，∴sinα＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．（5分）若复数z满足|z﹣2|＝|Rez+2|，则|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|的最小值5．第10页（共20页）【分析】设z＝x+yi，x，y∈R．由满足|z﹣2|＝|Rez+2|，可得＝|x+2|，化为：y2＝8x．可得F（2，0），Q（3，2），抛物线的准线l：x＝﹣2．过点P作PH⊥l，垂足为H．可得|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|＝|PF|+|PQ|≥|QH|．【解答】解：设z＝x+yi，x，y∈R．∵满足|z﹣2|＝|Rez+2|，∴＝|x+2|，化为：y2＝8x．可得F（2，0），Q（3，2），抛物线的准线l：x＝﹣2．过点P作PH⊥l，垂足为H．则|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|＝|PF|+|PQ|≥|QH|＝5，当且仅当三点Q，P，H三点共线时取等号．故答案为：5．【点评】本题考查了复数的几何意义、抛物线的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为线段AB1的中点，点P为对角线AC1上的