第九章--第九节--离散型随机变量的期望与方差、正态分布

第1页共5页A组考点能力演练1．若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的数学期望E(X)＝()A．2B．2或12C.12D．1解析：因为分布列中概率和为1，所以a2＋a22＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝12.故选C.答案：C2．(2016·长春质量监测)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)＝()A．0.85B．0.70C．0.35D．0.15解析：P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ2)＝0.35.故选C.答案：C3．(2016·九江一模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(Xk)＝P(Xk－4)，则k的值为()A．6B．7C．8D．9解析：∵k－4＋k2＝5，∴k＝7，故选B.答案：B4．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2解析：根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B.答案：B第2页共5页5．设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是()A．0.2B．0.8C．0.2或0.8D．0.16解析：由D(X)＝8p(1－p)＝1.28，∴p＝0.2或p＝0.8.答案：C6．一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点到6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是________．解析：共有36种可能，其中，甲、乙掷得的向上的点数相等的有6种，甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，所以所求期望为6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋215＝143.答案：1437．(2016·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N(90，σ2)(σ0)，统计结果显示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．解析：因为成绩ξ～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78(人)．答案：788．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ2a－3)＝P(ξa＋2)，则a的值为________．解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ2a－3)＝P(ξa＋2)，所以2a－3＋a＋2＝6，解得a＝73.答案：739.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的第3页共5页人数记为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由直方图可得20x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.0125.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1200×0.12＝144，所以估计1200名新生中有144名学生可以申请住宿．(3)X的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P(X＝0)＝344＝81256，P(X＝1)＝C14×14×343＝2764，P(X＝2)＝C24×142×342＝27128，P(X＝3)＝C34×143×34＝364，P(X＝4)＝144＝1256.所以X的分布列为X01234P812562764271283641256E(X)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1(或E(X)＝4×14＝1)．所以X的数学期望为1.10．(2016·郑州模拟)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A商品若干件(A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品)．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x＋y＝70)前6小时内的销售量t(单位：件)456频数30xy(1)若某天该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些商品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．解：(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A，则P(A)＝C14C12C26＝815.第4页共5页(2)设销售A商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商场每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件．当购进A商品4件时，E(ξ)＝150×4＝600，当购进A商品5件时，E(ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690，当购进A商品6件时，E(ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x100＋150×6×70－x100＝780－2x，由题意780－2x≤690，解得x≥45，又知x≤100－30＝70，所以x的取值范围为[45,70]，x∈N*.B组高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2386B．2718C．3413D．4772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544.解析：由题意可得，P(0x≤1)＝12P(－1x≤1)＝0.3413，设落入阴影部分的点的个数为n，则P＝S阴影S正方形＝0.34131＝n10000，则n＝3413，选C.答案：C2．(2015·高考福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，第5页共5页则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝56×15＝16，P(X＝3)＝56×45×1＝23.所以X的分布列为X123P161623所以E(X)＝1×16＋2×16＋3×23＝52.3．(2015·高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与数学期望ET；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而ET＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立．且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二：P(A)＝P(T1＋T270)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P(A)＝1－P(A)＝0.91.