数据包络分析(DEA)方法

二、数据包络分析(DEA)方法数据包络分析(dataenvelopmentanalysis,DEA)是由著名运筹学家Charnes,Cooper和Rhodes于1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策单元(Decisionmakingunit，DMU)之间的相对效率，依此对评价对象做出评价。DEA方法一出现，就以其独特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中[2],[3]。在介绍DEA方法的原理之前，先介绍几个基本概念:1.决策单元一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位(或一个部门)在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这种活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单位(或部门)被称为决策单元(DMU)。因此，可以认为，每个DMU(第i个DMU常记作DMUi)都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。在许多情况下，我们对多个同类型的DMU更感兴趣。所谓同类型的DMU，是指具有以下三个特征的DMU集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的投入和产出指标。2.生产可能集设某个DMU在一项经济(生产)活动中有m项投入，写成向量形式为1(,,)Tmxxx；产出有s项，写成向量形式为1(,,)Tsyyy。于是我们可以用(,)xy来表示这个DMU的整个生产活动。定义1.称集合{(,)|Txyyx产出能用投入生产出来}为所有可能的生产活动构成的生产可能集。在使用DEA方法时，一般假设生产可能集T满足下面四条公理:公理1(平凡公理):(,),1,2,,jjxyTjn。公理2(凸性公理):集合T为凸集。如果(,),1,2,,jjxyTjn,且存在0j满足11njj则11(,)nnjjjjjjxyT。公理3(无效性公理)：若ˆˆ,,,xyTxxyy,则ˆˆ(,)xyT。，公理4(锥性公理):集合T为锥。如果,xyT那么(,)kxkyT对任意的0k。若生产可能集Ｔ是所有满足公理1,2,3和4的最小者，则T有如下的唯一表示形式11,|,,0,1,2,,nnjjjjjjjTxyxxyyjn。3.技术有效与规模收益(1)技术有效：对于任意的(,)xyT，若不存在'yy，且'(,)xyT，则称(,)xyT为技术有效的生产活动。(2)规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值/yxkyx称为规模效益。若1k，说明规模收益递增，这时可以考虑增大投入；若1k，说明规模收益递减，这时可以考虑减小投入；若1k，说明规模收益不变，且称为规模有效。（一）DEA方法原理与CCR模型DEA方法的基本原理是：设有n个决策单元(1,2,,)jDMUjn，它们的投入，产出向量分别为：12(,,,)0,TjjjmjXxxx，12(,,,)0,1,,TjjjsjYyyyjn。由于在生产过程中各种投入和产出的地位与作用各不相同，因此，要对DMU进行评价，必须对它的投入和产出进行“综合”，即把它们看作只有一个投入总体和一个产出总体的生产过程，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。假设投入、产出的权向量分别为12(,,,)Tmvvvv和12(,,,)Tsuuuu，从而就可以获得如下的定义。定义2.称11,(1,2,)sTrrjjrjTmjiijiuyuYjnvXvx为第j个决策单元jDMU的效率评价指数。根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得1j。如果想了解某个决策单元，假设为({1,2,,})oDMUon在这n个决策单元中相对是不是“最优”的，可以考察当u和v尽可能地变化时，o的最大值究竟为多少?为了测得o的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母缩写)模型：11111,1,2,,,0,0,,.srroromiioisrrjrmiijiriuyMaximizevxuysubjecttojnvxuvri(1)利用Charnes和Cooper(1962)[4]提出的分式规划的Charnes-Cooper变换:11/miioitvx,,(1,,)rrturs,,(1,,)iitvim变换后我们可以得到如下的线性规划模型：1111,1,0,1,,,,0,1,,;1,,.srroormiioismrrjiijririMaximizeysubjecttoxyxjnrsim(2)根据线性规划的相关基本理论，可知模型(2)的对偶问题表达形式：11,1,2,,,,1,2,,,0,1,2,,.onijjoiojnrjjrojjMinimizesubjecttoxximyyrsjn(3)上述的模型是基于所有决策单元中“最优”的决策单元作为参照对象，从而求得的相对效率都是小于等于1的。模型(2)或者(3)将被求解n次，每次即得一个决策单元的相对效率。模型(3)的经济含义是：为了评价({1,2,,})oDMUon的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较。模型(3)的第一和第二个约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出。从而，模型(3)意味着，如果所求出的效率最优值小于1，则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于该单元的产出，即表明被评价的决策单元为非DEA有效。而当效率值为1时，决策单元为DEA有效。有关DEA有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱DEA有效与DEA有效两类。即通过考察如下模型中的(1,)isim与(1,,)rsrs的值来判别。1111(),1,,,1,,,,0,,,.msirirnijjioiojnrjjrrojjirMinimizesssubjecttoxsximysyrsssijro(4)其中为非阿基米德无穷小量。根据上述模型给出被评价决策单元({1,2,,})oDMUon有效性的定义：定义3.若模型(4)的最优解满足*1o，则称oDMU为弱DEA有效。定义4.若模型(4)的最优解满足*1o，且有0is，0rs成立，则称oDMU为DEA有效。定义5.若模型(4)的最优解满足*1o，则称oDMU为非DEA有效。对于非DEA有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元：保持产出不变，减少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出。CCR模型容许DMU在减小投入的同时也增加产出。对于CCR模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面，从而投影所得的点投入产出组合即为DEA有效。*****ˆ(1),1,,ˆ,1,,.iooioiiooioiiorororroxxsxxsximyysyrs上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有效应改善的数值，设投入的变化量为iox，产出的变化量为roy：***ˆ(),1,,ˆ(),1,,.ioioioiooioirororororroxxxxxsimyyyysyrs（二）BCC模型CCR模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产出量应以等比增加。然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。为了分析决策单元的规模报酬变化情况，Banker,Charnes与Cooper以生产可能集的四个公理以及Shepard距离函数为基础在1984年提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为BCC的模型[5]。线性形式的BCC模型可表示为：1111,1,0,1,,,,0,1,,;1,,.srroormiioismrrjiijoririMaximizeyusubjecttoxyxujnrsim(5)含松弛变量形式的BCC对偶模型11111(),1,,,1,,1,,0,,,msirirnijjioiojnrjjrrojnjjjirMaximizesssubjecttoxsximysyrsssijro(6)其中为非阿基米德无穷小量。根据BCC模型中的ou的取值大小，Banker和Thrall(1992)[6]提出如下判别方法来判断模型(5)的规模收益。定理1[6].假设含有投入产出组合(,)ooxy的oDMU是有效的，那么下面的条件可以判别模型(1)之下oDMU的规模收益：(i)对于投入产出组合(,)ooxy规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有*0ou；(ii)对于投入产出组合(,)ooxy规模收益递增当且仅当在所有最优解情况下都有*0ou；(iii)对于投入产出组合(,)ooxy规模收益递减当且仅当在所有最优解情况下都有*0ou。其中*ou代表模型(5)中的最优解。该定理的证明参见文献[6]。CCR模型或者BCC模型计算出来的效率可能存在多个效率值为1的情形，为了进一步区分这些有效决策单元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及双前沿数据包络分析模型。下面依次做个简单介绍。（三）超效率模型CCR模型在计算效率值时，经常会出现多个有效的决策单元(效率值为1)的情形，从而使得有效决策单元之间无法进行比较分析。Andersen和Petersen(1993)[7]为了实现决策单元的完全排序，将被评价的决策单元从效率边界中剔除，以剩余的决策单元为基础，形成新的效率边界，计算剔除的决策单元到新的效率边界的距离。由于剔除的决策单元不被效率边界所包围，对于有效的决策单元而言，其计算出来的新效率值就会大于1，而对于无效的决策单元而言，其所得的效率值不变，仍小于1，从而使得全体决策单元可以实现完全排序。由于有效的决策单元效率大于1，从而就有了超效率(Super-efficiency)的概念。基于CCR模型的超效率DEA模型为：11,1,2,,,,1,2,,,0,.nijjiojjonrjjrojjojMinimizesubjecttoxximyyrsjo(7)Banker和Chang(2006)[8]证实了超效率极易受离群值的影响，因此该方法可以用来检测数据集中是否存在离群值。（四）交叉效率模型为了解决DEA有效决策单元的排序和比较问题，Sexton等人(1986)[9]提出了交叉效率评价的概念。所谓交叉效率评价就是每个DMU分别确定一组输入输出权重，供所有的DMUs评价使用，其中：用DMU自身确定的权重评价自己的效率，称为自我评价效率；用其它DMU确定的权重评价自己的效率，称为交叉效率或同行评价效率。以表5—1为例，交叉效率评价的实质是对每个DMU同时进行自评和同行评价，这样不仅考虑DMU自评的最好相对效率，而且还考虑了DMU同行评价给出的交叉效率，利用自我评价和交叉效率的平均值作为衡量DMU绩效的综合指标，该指标不仅较好地解决了DMUs间排序和比较问题，而且解决了CCR模型由于输入输出权重不一致性导致的不可比较问题。Sexton等人(1986)通过引入二级目标来确定输入输出权重、消除权重的不唯一性。随后Doyle和Green(1994,1995)[10],[11]从同行评价的角度解释了交叉效率的含义，并给出了后来的到广泛引用的二级目标函数-攻击型计算方式和仁慈型计算方式，下面两个模型依次为攻击型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型：表5—1交叉效率示意表决策单元交