不动点指标理论及其在K型单调和竞争动力系统中的应用-中文

作者姓名：梁兴论文题目：不动点指标理论及其在K型单调和竞争动力系统中的应用作者简介：梁兴，男，1976年7月出生，2001年9月师从于中国科学技术大学蒋继发教授，于2003年7月获博士学位。中文摘要很多类型的微分方程（组）的解都保持某种由初值条件、边值条件和（或）非齐次项生成的序关系。很多情况下，当我们求解、构造收敛于平衡点的单调序列或给出解的上下界时，我们都要利用这种保序性。基于单调性和比较原理的方法很长时期以来一直得到广泛应用，它的本质思想在20世纪初就已经被提及，例如，Courant和Hilbert1937年提到Bieberbach1912年描述的一种利用单调叠代解非线性椭圆方程的方法。在上世纪20到30年代，Hopf和Kamke分别发展了偏微分方程的强极大值原理和常微分方程组比较原理。在此以后几十年中，单调方法成为微分方程的重要方法，并被抽象为正算子理论，作为泛函分析的一个重要分支得到充分发展。但是，上世纪80年代以前，大多数文献利用单调方法得到的结果往往是局部的。上个世纪数学的另一重要发展则是对非线性发展方程（与时间相关的常微分方程、偏微分方程及泛函微分方程）的长期大范围性态的定性研究。Poincare和Lyapunov是这一领域的开创者。经过几代数学家包括Birkhoff、vanNeumann、Kolmogorov等人的努力，在整个20世纪里，这一领域持续、蓬勃地发展，并始终保持旺盛的活力，最终形成动力系统这一现代数学的重要分支，并且有了更深更广的数学内涵和更加广阔的应用。特别是在上个世纪60到70年代，微分动力系统领域出现了一大批深刻的结果。由于偏微分方程理论和算子半群理论的应用，这些结果被进一步推广到无穷维的情况，并反过来促进了偏微分方程理论的发展。当动力系统的观点和方法被引入后，单调性、正性和比较原理不但可以用来解决局部的、线性的或静态的数学问题，而且可以处理全局的、非线性的和动态的数学问题。在很多数学分支中零散的结论也可以被统一、抽象并提高。单调动力系统理论这一数学分支正是在动力系统和单调性思想的交叉、结合中产生的。正如我们上面所介绍的，动力系统和单调性理论的发展已经为单调动力系统的产生准备好了必要的理论工具，而促使单调动力系统理论产生的另外一个因素则是实际应用的需要。从20世纪初起，在化学和生物领域的研究当中，建立了大量的数学模型，特别是微分方程模型。和传统的来自于力学和物理领域的模型不同，守恒律、对称性分析和变分原理在研究这些模型时一般不再适用。但是，在化学和生物领域的研究中，我们通常处理种群密度、化学物质浓度等物理量，它们当然都具有正值，因此，方程的解都保持正性。另一方面，这些模型还保持附加的单调性或保序性。20世纪80年代，Hirsch和Matano各自独立地创建了单调动力系统理论。很多优秀数学家，如Dancer、Hess、Polacik和Smith对单调系统理论均做出了重要贡献，使这个领域在过去20多年中得到非常迅速的发展，取得了大量的深刻而具有重要意义的成果。这一领域的最大特点是不同分支问题的研究在方法论上的一致性和结果的整体性。如果研究者能够洞察问题的本质，则能够组织一个或若干个抽象结果，使得各类具有比较原理的演化方程都能够应用。这篇博士论文将继承和发展这一特点。主要贡献包括以下四部分内容。(C1)从大量的实际模型抽象出K型单调映射的概念。研究了乘积Banach空间中正锥上K型单调映射的不动点指标理论,讨论了不动点指标与不动点局部稳定性之间的关系,给出了不动点指标和公式。进一步,把相应的结果推广到Kolmogorov微分方程系统，给出这类系统的平衡点指标。结合单调动力系统理论和不动点指标理论，研究了无穷维K型单调映射的持久性、全局收敛性及共存态的存在性、唯一性和全局吸引性。并把所得结果应用于时间周期的Lotka－Volterra反应扩散系统,获得了与抽象结果相对应的结果,每一个结果均可以通过方程的系数判断。特别地，我们首次给出了正周期解全局稳定的可判性条件，解决了著名数学家,如N.Dancer,P.Hess,AhmadandLazer等人多次提出的这一“非常困难的问题”。当这些结果应用于K型单调的常微分方程系统，解决了Smith（1986）提出的三个公开问题，并给其全局稳定性的研究划上了一个圆满的句号。这项工作分别发表在J.DifferentialEquations和Trans.Amer.Math.Soc.上.(C2)我们研究了K型单调和竞争的自治Kolmogorov常微分系统的动力学性态,特别是几何约化性态。对于K型单调系统,我们证明了余维1的不变胞腔的存在性；对于3维K型单调系统,我们证明了系统的处处收敛性；结合平衡点指标理论,我们给出了3维K型单调的自治Lotka-Volterra系统动力学性态的完整分类。对于K型竞争系统,我们证明了存在至多可数个余维1的不变胞腔吸引了所有持久非收敛轨道,并给出条件保证所有的正轨道都被同一个这样流形的闭包所吸引;结合平衡点指标理论,我们给出了3维K型竞争的自治Lotka-Volterra系统动力学性态的分类,此分类完全由(两维)边界平衡点的稳定性态给出;进一步,我们证明此系统存在Hopf分支,并给出条件保证系统正平衡点的全局吸引性。我们还研究了迁移－竞争系统的动力学性态,并证明了:对四维迁移－竞争系统,Poincaré-Bendixson定理成立。这项工作分别发表在Nonlinearity等杂志上.(C3)给出无限维动力系统的鞍点结构和广义鞍点结构的抽象定义,证明几个单调和K型单调动力系统的鞍点结构定理,由此解决了Capasso-Wilson猜测。我们的广义鞍点结构的抽象定义与Smith关于平衡点结构的猜测紧密相关。进一步，我们研究该猜测成立的最佳条件。一方面，在“稳定的平衡点是完全有序的条件下，证明这一猜测成立；另一方面，用域扰动理论构造出一个反应扩散系统,说明：如果这一条件违背,则Smith的平衡点结构猜测不成立。这一工作已经发表在J.DifferentialEquations上。(C4)在抛物型方程行波解的研究中，绝大部分系统都具有极值原理。我们以抽象的观点看待行波解，把波形函数视为实数群或整数群到有序Banach空间的映射。由此发展了一套单调半流的渐近传播速度和抽象行波解的理论，使得各种各样具有比较原理的的演化系统的行波解问题在我们的理论框架下能够得到统一处理。对单稳定的情形，在适当的连续性和紧性假设下，我们给出了渐近传播速度和单调行波解的存在性，证明了渐近传播速度和最小波速相等，并给出渐近传播速度的估计。这项工作对著名数学家Weinberger的结果进行了非常不平凡的推广。抽象行波解的理论结果使得很多类型的方程（组），比如，标准的反应扩散方程（组）、（局部的和非局部的）柱体上的反应扩散方程、积分方程组、积分微分方程组、偏泛函微分方程组、（局部的和非局部的）格点方程等的问题可以被统一的解决。其中对柱体上的反应扩散方程的应用首次给出了这类方程的渐近传播速度，推广了著名数学家Nirenberg关于这类方程的工作。这项工作已被CommunicationsonPureandAppliedMathematics正式接受发表。关键词：单调系统、反应扩散方程、Kolmogorov系统、Lotka－Volterra系统、不动点指标、行波解、渐近传播速度TheoryofFixedPointIndexandItsApplicationstoType-KMonotoneandCompetitiveSystemsLiangXingABSTRACTThesolutionsofmanykindsofdifferentialequationspreservesometypeoforderrelationoninitialdata,boundarydata,and/orinhomogeneousterms.Peopleoftenusesuchorder-preservingpropertiestofindsolutionsorconstructiterationschemeswhichconvergemonotonicallytoequilibriaorprovideboundsonothersolutions.Methodsofanalysisbasedonmonotonicityandcomparisonshavebeenaroundforalongtime,andtheessentialideasbehinditwereintroducedaroundthebeginningofthetwentiethcentury.CourantandHilbertreferredtoa1912noteofBieberbachdescribingamonotoneiterationschemeforsolvinganonlinearellipticequation.Inthe1920sand1930s,Hopfestablishedthestrongmaximumprinciple,andMullerandKamkedevelopedthecomparisonandmonotonicityresultsforsystemsofordinarydifferentialequations.Inthenextdecades,methodsofmonotonicitybecameaveryimportanttoolinthefieldofdifferentialequations.Furthermore,itwasabstractedaspositiveoperatortheory,oneofmainpartsinfunctionalanalysisandgotasteadyandsufficientdevelopment.However,methodsofmonotonicitywereoftenusedinadhocwaystoderivelocalresultsbeforethe1980s.Atthesametime,thetheoryofdynamicalsystems,establishedbyPoincaré,LyapunovandBirkhoff,developedrapidly.Especially,fromthe1960sthroughthe1970s,alotofsignificantresultsinthisfieldcameforth.Suchresultsaregraduallyextendedtoinfinite-dimensionalsettingsinsomeextendviathedevelopmentofthetheoryforsemigroupofoperator,Theworksinthesetwofieldsintroducedaboveprovidedasteadybasisfortheapplicationofmonotonicitytotheglobaldynamicalbehaviorofthedifferentialequations.Anothermajortrendsettingthestageformonotonedynamicalsystemstheoryistherequirementofothersubjectsinmathematicsandscience.Inthestudyofbiologyandchemistry,alotofdifferentialequationsmodelswereestablished.Itisdifferentfromthemodelsformechanicsthatformanyofthesemodelsthetraditionalvariationalprinciples,symmetryarguments,andconservationlawsofmathematicalp