2011届高三数学二轮复习-专题1 第4讲导数及其应用

热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数第4讲导数及其应用热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数要点知识整合1．几何意义曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率为k＝f′(x0)(其中f′(x0)为y＝f(x)在x0处的导数)．2．求导数的方法(1)基本导数公式：C′＝0(C为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae.(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；(uv)′＝u′v－uv′v2(v≠0)．(3)复合函数的导数：y′x＝y′u·u′x，如y＝sin2x有y′＝2cos2x.3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数在区间(a，b)内，如果f′(x)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．(2)求极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数4．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；(2)ab[f(x)±g(x)]dx＝abf(x)dx±abg(x)dx；(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx其中(a＜c＜b)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数题型一导数的几何意义热点突破探究典例精析例1若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【解析】∵f′(x)＝5ax4＋1x，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数即a＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．即a∈(－∞，0)．【答案】(－∞，0)热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【题后拓展】求曲线切线方程的步骤是：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．注意：(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数1．已知函数f(x)＝x2－x＋2，g(x)＝3lnx，若直线x＝k与曲线y＝f(x)，y＝g(x)分别相交于P，Q两点，并且两曲线分别在P点和Q点处的切线平行，那么实数k等于()变式训练A．－32B．1C.32D．－1和32热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数解析：选C.因为f′(x)＝2x－1，g′(x)＝3x，所以两曲线在P点和Q点处的切线的斜率分别为2k－1和3k，依题意有2k－1＝3k，解得k＝32(k＝－1舍去)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数题型二利用导数研究函数的单调性例2(2010年高考课标全国卷)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．【解】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数递增．(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤12时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex1＋x(x≠0)可得e－x1－x(x≠0)．从而当a12时，f′(x)ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln(2a))时，f′(x)0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln(2a))时，f(x)0，不符合要求．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数综合得a的取值范围为(－∞，12]【题后拓展】利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数2．已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．变式训练解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－2x＝2x＋1x－1x，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g′(x)＝2x＋ax－2x2，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥2x－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝2x－2x2，∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围为a≥0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数题型三利用导数研究函数的极值、最值例3已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝－13是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【解】(1)f′(x)＝3x2－2ax－3.∵f(x)在[1，＋∞)是增函数，∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有a3≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0.(2)依题意，f′(－13)＝0，即13＋23a－3＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－13，x2＝3.则当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.(3)函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．∴x3－4x2－3x－bx＝0，∴x＝0是其中一个根，∴方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根．∴Δ＝16＋43＋b＞0－3－b≠0∴b＞－7且b≠－3.∴存在满足条件的b值，b的取值范围是b－7且b≠－3.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【题后拓展】利用导数求函数的极值或最值，关键是首先要正确求导，准确记忆常用函数的求导公式及求导法则，其次令导函数等于零，列出升降表，根据升降表确定极值，进而确定最值，注意不能忽视边界．3．已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求a的值；(3)若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．变式训练热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数解：(1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2.∵a0，∴f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由(1)可知：f′(x)＝x＋ax2.①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝32，∴a＝－32(舍去)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－ae＝32⇒a＝－e2(舍去)．③若－ea－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，当1x－a时，f′(x)0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－axe时，f′(x)0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32⇒a＝－e.综上可知，a＝－e.(3)∵f(x)x2，∴lnx－axx2.又x0，∴axlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝1x－6x＝1－6x2x，∵h(x)在[1，＋∞)上是减函数，∴h(x)≤h(1)＝－2，即g′(x)0，热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数∴g(x)在[1，＋∞)上也是减函数，∴g(x)≤g(1)＝－1.令a≥－1得ag(x)，∴当f(x)x2在(1，＋∞)恒成立时，a≥－1.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数题型四导数的实际应用例4(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.3万元/辆，年销售量为50000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价格相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润关于x的函数关系式；(2)若年销售