2011届高三数学二轮复习-专题6 第2讲椭圆、双曲线、抛物线

热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何要点知识整合椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何椭圆双曲线抛物线图像热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何几何性质热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何热点突破探究典例精析题型一圆锥曲线的定义例1已知P为椭圆x24＋y2＝1和双曲线x2－y22＝1的一个交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余弦值为__________．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【解析】由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|＋|PF2|＝4|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3|PF2|＝1，又|F1F2|＝23，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－13.【答案】－13热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【题后拓展】圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何变式训练1．已知定点A(2,1)，F(1,0)是椭圆x2m＋y28＝1的一个焦点，P是椭圆上的点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解：由F(1,0)在x轴上，∴m－8＝1，∴m＝9，即椭圆方程为x29＋y28＝1.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何如图，设左焦点为F′，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝6＋(|PA|－|PF′|)．连接AF′并延长交椭圆于P1，反向延长线交椭圆于P2，P1、P2分别使|PA|＋|PF|取得最大值和最小值，且为6＋10和6－10.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2010年高考天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________________．(2)(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF→＝2FD→，则C的离心率为__________．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【解析】(1)由双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝3x得ba＝3，∴b＝3a.∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(3a)2，∴a2＝4，b2＝12.即所求双曲线的方程为x24－y212＝1.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(2)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BF→＝(c，－b)，FD→＝(xD－c，yD)，∵BF→＝2FD→，∴c＝xD－c，－b＝2yD，∴xD＝3c2，yD＝－b2.∴（3c2）2a2＋（－b2）2b2＝1，化简得e2＝13，∴e＝33.【答案】(1)x24－y212＝1(2)33热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【题后点评】(1)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线．这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何变式训练2．(1)(2010年高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.B．1C．2D．412解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－p2.由x2＋y2－6x－7＝0得(x－3)2＋y2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p＝2.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(2)(2010年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何解析：选D.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，设F(c,0)，B(0，b)，kBF＝－bc，双曲线渐近线的斜率k＝±ba.∵BF与一条渐近线垂直，∴－bc·ba＝－1，∴b2＝ac，又a2＋b2＝c2，∴c2－ac－a2＝0，∴e2－e－1＝0，∴e＝1＋52或e＝1－52(舍)，∴e＝5＋12，故选D.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何题型三圆锥曲线的最值或定值问题例3已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求证：直线MN恒过定点；(2)求|MN|的最小值．【解】(1)证明：由题意可知直线AB，CD的斜率都存在且不等于零，F(1,0)．设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何∴xM＝xA＋xB2＝k2＋2k2，yM＝k(xM－1)＝2k.故M(k2＋2k2，2k)．因为CD⊥AB，所以将点M坐标中的k换为－1k，得N(2k2＋1，－2k)．当k≠±1时，则lMN：y＋2k＝－2k－2k2k2＋1－k2＋2k2·(x－2k2－1)，即(1－k2)y＝k(x－3)，此时直线MN恒过定点T(3,0)；当k＝±1时，MN的方程为x＝3，也过(3,0)点．故不论k为何值，直线MN恒过定点T(3,0)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(2)由(1)知M(k2＋2k2，2k)，N(2k2＋1，－2k)．∴|MN|＝（k2＋2k2－2k2－1）2＋（2k＋2k）2＝2k4＋1k4＋k2＋1k2＝2（k2＋1k2）2＋（k2＋1k2）－2＝2（k2＋1k2＋12）2－94≥2（2＋12）2－94＝4.当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，上式取等号，此时|MN|的最小值是4.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【题后点评】解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：(1)利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用不等式，尤其是均值不等式求最值；(4)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何变式训练3．(2009年高考辽宁卷)已知椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．32热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何解：(1)由题意知c＝1.可设椭圆方程为x21＋b2＋y2b2＝1.因为A在椭圆C上，所以11＋b2＋94b2＝1.解得b2＝3，b2＝－34(舍去)．所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋32.代入x24＋y23＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4(32－k)2－12＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A(1，32)在椭圆上，所以xE＝4（32－k）2－123＋4k2，yE＝kxE＋32－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代替k，可得xF＝4（32＋k）2－123＋4k2，yF＝－kxF＋32＋k，所以直线EF的斜率kEF＝yF－yExF－xE＝－k（xE＋xF）＋2kxF－xE＝12，即直线EF的斜率为定值，其值为12.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何题型四圆锥曲线中的参数范围例4如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM→＝2AP→，NP→·AM→＝0，点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG→＝λFH→，求λ的取值范围．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【解】(1)∵AM→＝2AP→，NP→·AM→＝0，∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|.又∵|CN|＋|NM|＝22，∴|CN|＋|AN|＝22＞2，∴点N的轨迹是以点C(－1,0)、A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a＝22，焦距2c＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝1，∴曲线E的方程为x22＋y2＝1.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(2)当直线GH的斜率存在时，设直线GH的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程x22＋y2＝1，得(12＋k2)x2＋4kx＋3＝0.由Δ＞0得k2＞32.设G(x1，y1)、H(x2，y2)，则x1＋x2＝－4k12＋k2，x1x2＝312＋k2.又∵FG→＝λFH→，∴(x1，y1－2)＝λ(x2，y2－2)，∴x1＝λx2，∴x1＋x2＝(1＋λ)x2，x1x2＝λx22，∴(x1＋x21＋λ)2＝x22＝x1x2λ.∴(－4k12＋k2)2·(11＋λ)2＝312＋k2·1λ，热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何整理得163（12k2＋1）＝（1＋λ）2λ.∵k2＞32，∴4＜1632k2＋3＜163.∴4＜λ＋1λ＋2＜163，∴13＜λ＜3.又∵0＜λ＜1，∴13＜λ＜1.又当直线GH的斜率不存在，即其方程为x＝0时，FG→＝13FH→，λ＝13.∴13≤λ＜1，即所求λ的取值范围是[13，1)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【题后点评】与圆锥曲线相关的参数问题是高考考查的热点问题，解决这类问题常用以下方法：(1)根据题意建立参数的不等关系式，通过解不等式求出范围；(2)用其他变量表示该参数，建立函数关系，然后利用求值域的相关方法求解；(3)建立某变量的一元二次方程，利用判别式求该参数的范围；(4)研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合法求解．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何变式训练4．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点，离心率e＝25，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MA→＋MB→)⊥AB→，求m的取值范围．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意知b＝1，∴a2－b2a2＝25a2＝5.故椭圆方程为x25＋y2＝1.(2)法一：由(1)得F(2,0)，所以0≤m≤2，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，代入x25＋y2＝1，得(5k2＋1)x2－20k2x＋20k2－5＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何设A(x1，y1)，B(x