中考数学专题复习 第4时 探索规律问题

第4时探索规律问题一棵草的春天[e-mail]第4课时探索规律问题知识归纳考点例析基础训练能力训练所谓探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．在近几年的中考中此类型题目备受命题专家的青睐，常见的类型有三种：(1)数与式变化规律型；(2)图形变化规律型；(3)猜想论证型．这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行验证．考查数与式变化规律观察下列等式：①32－4×1＝12＋4；②42－4×2＝22＋4；③52－4×3＝32＋4；…则第n个等式可以表示为__________________．答案：(n＋2)2－4n＝n2＋4阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，3×4＝13(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20.读完以上材料，请你计算下各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.解析：(1)∵1×2＝13(1×2×3－0×1×2)2×3＝13(2×3×4－1×2×3)⋮10×11＝13(10×11×12－9×10×11)∴以上各式相加得1×2＋2×3＋…＋10×11＝13×10×11×12＝440.(2)13n(n＋1)(n＋2)．(3)14×7×8×9×10＝1260.点评：这类题最忌胡乱猜测，一定要从条件中发现重要信息．找出规律，进行验证．考查图形变化规律型问题如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要____枚棋子，摆第n个图案需要____枚棋子．解析：如图所示，第1个图案，由三个“••”和一个“•”组成，共有棋子(3×1×2＋1)枚；第2个图案，由三个“”和一个“•”组成，共有棋子(3×2×3＋1)枚；第3个图案，由三个“”和一个“•”组成，共有棋子(3×3×4＋1)枚；……于是，第n个图案应是由三个“”和一个“•”组成，共有棋子[3×n×(n＋1)＋1]枚，即3n2＋3n＋1枚，特别地，当n＝6时，3n2＋3n＋1＝127.点评：解决这类题要从组成图案的各部分认真观察，找出规律，再进行验证．考查猜想论证的能力在正方形ABCD中，点P是直线CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足为E、F.(1)在下面图1、图2、图3中，请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系？请分别直接写出结论；(2)请在(1)中的三个结论中选择一个加以证明．分析：这三个图形的结论虽然不同，但可以类比的．解析：(1)在图1中有结论：DF＋EF＝BF.在图2中有结论：BE＋EF＝DF.在图3中有结论：BE＋DF＝EF.(2)利用全等证明△ADF≌△BAE(略)．点评：这类题也有一个相同点，就是这三条线段中其中两条线段的和等于第三条线段．只是组合形式不同，证明方法类似.一、选择题1．请你认真观察和分析图中数字的变化规律，由此得到图中所缺的数字是()A．32B．29C．25D．232．有一列数a1，a2，a3，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2012为()A．2012B．2C.D．－112BC3．世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则第10行从左边数第3个位置上的数是()A.1132B.1360C.1495D.1660B4．填在下图的各正方形中的4个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是()．A．38B．52C．66D．745．(2011佛山)如右图，物体从点A出发，按照A→B(第1步)→C(第2步)→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动．则第2011步到达的点处是()A．A点B．B点C．D点D．F点DC6．(2011江门)如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD各边中点得A1B1C1D1，顺次连接A1B1C1D1各边中点得正方形A2B2C2D2，…，如此连接下去，则正方形AnBnCnDn的面积为()A．(12)－nB．(12)nC．(12)n－1D．(12)n－2B二、填空题7．如图，是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．8．观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a＋b的值为____．376n＋29．(2011茂名)给出下列命题：命题1：点(1,1)是双曲线y＝1x与抛物线y＝x2的一个交点．命题2：点(1,2)是双曲线y＝2x与抛物线y＝2x2的一个交点．命题3：点(1,3)是双曲线y＝3x与抛物线y＝3x2的一个交点．…请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：________________________________________.点(1，n)是双曲线y＝nx与抛物线y＝nx2的一个交点10．(2011肇庆)如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是________．11．(2011湛江)若A23＝3×2＝6，A35＝5×4×3＝60，A45＝5×4×3×2＝120，A46＝6×5×4×3＝360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A37＝____(直接写出计算结果)．并比较A310________A410(填“＞或＝或＜”)．n(n＋2)210＜12．如图，四边形ABCD为正方形，曲线DEFGHIJ…叫做“正方形ABCD的渐开线”，其中DE⌒、EF⌒、FG⌒、GH⌒、HI⌒、IJ⌒、…的圆心依次按A、B、C、D循环，当渐开线延伸开时，形成了扇形S1、S2、S3、S4和一系列的扇环S5、S6，…，当AB＝1时，它们的面积S1＝π4，S2＝π，S3＝94π，S4＝4π，S5＝6π，…，那么扇环的面积S8＝______________.12π13．若a1＝1－1m，a2＝1－1a1，a3＝1－1a2，…；则a2012的值为________________．(用含m代数式表示)－1m－114．观察方程的解：x＋1x＝2＋12，可得x＝2或x＝12；(1)根据上面的结论直接写出方程x＋1x＝c＋1c(c≠0)的解；(2)利用(1)的结论求方程x＋1x－1＝a＋1a－1(a≠1)的解．14．(1)x＝c或x＝1c.(2)x＝a或x＝aa－1.15．在二次根式的化简运算中，小莉无意中发现223＝83＝223，338＝278＝338，类似的还得到4415＝4415，5524＝5524，….依此，你发现了其中的规律吗？试写出具有这类规律的二次根式的关系式(用含自然数n的式子表示)，并验证它的正确性．解析：规律为：n＋1＋n＋1n＋12－1＝(n＋1)n＋1n＋12－1(n≥1的自然数)验证如下：右边＝n＋12·n＋1n＋12－1＝[n＋12－1]n＋1＋n＋1n＋12－1＝n＋1＋n＋1n＋12－1＝左边．16．(2011广东)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．(1)表中第8行的最后的一个数是________，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______________________，最后一个数是________，第n行共有________个数；(3)求第n行各数之和．2n－164815n2－2n＋2(或(n－1)2＋1)n2(3)设第n行各数之和为S.则S＝(n2－2n＋2)＋(n2－2n＋3)＋…＋n2(2n－1)项＝n2－2n＋2＋n22n－12＝(n2－n＋1)(2n－1)＝2n3－3n2＋3n－1.