《导数在研究函数中的应用》复习课

3.3导数在研究函数中的应用（复习课）尤溪二中朱兴炬本节知识结构导数函数的单调性函数的极大（小）值函数的最大（小）值已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内．(3)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内．单调递增单调递减知识回顾与梳理为常数函数提示：函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)0是y＝f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.1．函数的单调性与导数的关系思考：若函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0吗？求函数的单调区间的一般步骤:(1)求出函数f(x)的定义域A；(2)求出函数f(x)的导数；(3)不等式组的解集为f(x)的单调增区间；()0xAfx(4)不等式组的解集为f(x)的单调减区间；()0xAfxf′(x)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值）使函数取得极值的点x0称为极值点2.函数极值与导数的关系oxyoxy0x0x(1)定义一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么是_______．(2)判断f(x0)是极值的方法极大值极小值只有f′(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：①确定函数的定义域,求导数f′(x)②求方程f′(x)＝0的根③用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格④由f′(x)＝0在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f′(x0)左正右负，则f(x0)为_______；若f′(x0)左负右正，则f(x0)为________+-x0-+x0极大值极小值3．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是_____________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)①若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则____为函数的最小值，为____函数的最大值；②若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则____为函数的最小值，为____函数的最大值．f(a)f(b)f(b)f(a)(3)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：极值①求函数y＝f(x)在(a，b)内的_______；②将函数y＝f(x)的各极值与_________比较，其中最大f(a),f(b)的一个是最大值，最小的一个是最小值．一条连续不断辨析感悟1．对函数的单调性与导数关系的理解(1)若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(2)函数在其定义域内的离散的点处导数为0不影响函数的单调性．()(3)函数y＝12x2－lnx的单调减区间为(－1,1)．()××√2．对函数极值、最值概念的理解(4)导数为0的点一定是极值点．()(5)函数f(x)＝x－1x有极值．()(6)函数f(x)＝13x3－4x＋4在(0,3)上的最大值为4，最小值为－43.()×××考点一利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．解:(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)0，令f′(x)0，因此函数f(x)的递减区间是(0，ln2)；递增区间是(－∞，0)和(ln2，＋∞)．即x(ex－2)0，即x(ex－2)0，∴xln2或x0.∴0xln2.x∈R(2)易知f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)．因此，实数k的取值范围是(－∞，1/2.∵f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x≥0时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0恒成立．∴ex－2k≥0，由于ex≥1，又当k＝1/2时，f′(x)＝x(ex－1)当且仅当x＝0时取等号．∴2k≤1，则k≤1/2.≥0【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．即2k≤ex恒成立．规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．审题路线(1)由f′(1)＝0⇒求a的值．考点二利用导数研究函数的极值【例2】设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)由f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，∴f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0.从而a－12＋32＝0，∴a＝－1.审题路线(2)确定函数定义域⇒求导⇒求方程f′(x)＝0的根⇒判断根左右f′(x)的符号⇒确定极值．考点二利用导数研究函数的极值【例2】设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．a=-1(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，∴f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x＝1或－13(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．规律方法(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．考点三利用导数求函数的最值【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．审题路线(1)f′2＝0，f2＝c－16⇒a，b的值；解(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有f′2＝0，f2＝c－16，即12a＋b＝0，8a＋2b＋c＝c－16.化简得12a＋b＝0，4a＋b＝－8，解得a＝1，b＝－12.考点三利用导数求函数的最值【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．审题路线(2)求导确定函数的极大值⇒求得c值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．a=1，b=-12(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x＝－2或2.因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：xf′(x)f(x)00＋＋－极大值极小值－22(－3，－2)(－2,2)(2,3)由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.课堂小结1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．1.已知函数在处取得极值。（1）求函数f(x)的解析式（2）求函数f(x)的单调区间322fxaxbxx2,1xx322()2622371a2()22fxxxafx例题：已知函数在，上有最小值求实数的值；求在，上的最大值。3.已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]．若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围．作业：例：已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝3x2－a，f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)≥0，∴a≤3x2，∴a≤3.又a＞0，可知0＜a≤3.答案：(0，3]分析：已知函数的单调性求参数的取值范围问题,一般根据f(x)在区间D上单调递增(递减)，等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间D上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．(0，3]