(新课标)高中数学《3.2.1导数的计算》课件 新人教A版选修1-1

3．2导数的计算3．2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第1课时基本初等函数的导数公式【课标要求】1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法．2．掌握常见函数的导数公式．3．灵活运用公式求某些函数的导数．【核心扫描】1．基本初等函数的导数公式．(重点)2．能运用导数定义推导几个常用的函数的导数公式，应用公式计算有关导数．(重难点)自学导引1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2f(x)＝xf′(x)＝12x想一想：下面的计算过程正确吗？sinπ4′＝cosπ4＝22.提示不正确．因为sinπ4＝22是一个常数，而常数的导数为0，所以sinπ4′＝0.若函数f(x)＝sinx，则f′π4＝22.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a0，且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x想一想：函数f(x)＝lnx与f(x)＝logax的导数公式之间有什么内在的联系吗？提示函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝1xlna，当a＝e时，上述公式就变为(lnx)′＝1x，即f(x)＝lnx是f(x)＝logax当a＝e时的特殊情况．类似地，还有f(x)＝ax与f(x)＝ex.名师点睛1．几种常用函数的导数(1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先计算ΔyΔx，并化简；然后观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；最后，ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．(2)对基本初等函数的导数公式的特别说明不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的运算练习．2．理解和记忆指数函数、对数函数的导数公式指数函数、对数函数的导数公式的记忆：公式(lnx)′＝1x，(ex)′＝ex很好记，但公式(logax)′＝1xlna，(ax)′＝axlna的记忆比较难，特别是lna的位置易记混．应从以下两个方面加深对公式的理解和记忆．(1)区分公式的结构特征：一要从纵的方面找(lnx)′与(logax)′、(ex)′与(ax)′联系，二要从横的方面找(logax)′与(ax)′的联系，并找出它们的差异，记忆公式．(2)对公式(logax)′可用(lnx)′和求导法则证明来帮助理解和记忆．(logax)′＝lnxlna′＝1lna(lnx)′＝1lna·1x＝1xlna.题型一利用导数定义求函数的导数【例1】用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．[思路探索]利用导数的定义求导主要应掌握作差、作商与取极限的应用．解y′＝（x＋Δx）2＋a（x＋Δx）＋b－（x2＋ax＋b）Δx＝x2＋2x·Δx＋（Δx）2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝2x·Δx＋a·Δx＋（Δx）2Δx＝(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．【变式1】用导数的定义求函数f(x)＝2012x2的导数．解f′(x)＝2012（x＋Δx）2－2012x2x＋Δx－x＝2012（x2＋2x·Δx＋Δx2）－2012x2Δx＝4024x·Δx＋2012Δx2Δx＝(4024x＋2012Δx)＝4024x.题型二利用导数公式求函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝5x；(2)y＝1x3；(3)y＝4x3；(4)y＝log3x；(5)y＝(1－x)(1＋1x)＋x；(6)y＝(＋1)(－1)＋1.[思路探索]解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导．解(1)y′＝(5x)′＝5xln5；(2)y′＝1x3′＝(x－3)′＝－3x－4；(3)y′＝(4x3)′＝＝＝344x；(4)y′＝(log3x)′＝1xln3.(5)∵y＝(1－x)(1＋1x)＋x＝1－xx＋x＝1x，∴y′＝.(6)∵y＝＋1＝x3－1＋1＝x3，∴y′＝(x3)′＝3x2.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．【变式2】求下列函数的导数：(1)y＝x7;(2)y＝x10;(3)y＝1x2；(4)y＝3x.解(1)y′＝7x6；(2)y′＝10x9；(3)y＝x－2，∴y′＝－2x－3；(4)题型三利用导数公式求曲线的切线方程【例3】(12分)(1)求过曲线y＝sinx上点Pπ6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．(2)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．审题指导[规范解答](1)∵y＝sinx，∴y′＝cosx，(2分)曲线在点Pπ6，12处的切线斜率是：y′|x＝π6＝cosπ6＝32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－23，(4分)故所求的直线方程为y－12＝－23x－π6，即2x＋3y－32－π3＝0.(6分)(2)∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，(8分)又∵PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M12，14.(10分)∴所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.(12分)【题后反思】相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．【变式3】求曲线y＝cosx在点Aπ6，32处的切线方程．解∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴y′|x＝π6＝－sinπ6＝－12，∴在点A处的切线方程为y－32＝－12x－π6，即x＋2y－3－π6＝0.误区警示未检验点是否在曲线上而致误【示例】已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0，32)作曲线f(x)的切线，求切线的方程．[错解]由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点的导数值，而f′(x)＝6x2－3，所以k＝f′(0)＝0－3＝－3.所以切线方程为y＝－3x＋32.对于给定的点M，要验证与曲线的位置关系，若已知点是切点，可采用错解中的方法，否则，就需要照本题的正解进行．[正解]设切点坐标为N(x0，2x30－3x0)，由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值，而f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率k＝f′(x0)＝6x20－3，所以切线方程为y＝(6x20－3)x＋32，又点N在切线上，所以有2x30－3x0＝(6x20－3)x0＋32，解得x0＝－2，故切线方程为y＝21x＋32.正确理解导数的几何意义，求曲线的切线的方程问题就迎刃而解了．