(新课程)高中数学《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》课件 新人教A版选修2-2

第2课时导数的运算法则及复合函数的导数【课标要求】1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．【核心扫描】1．对导数四则运算法则的考查．(重点)2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)自学导引1．导数运算法则法则语言叙述[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f′(x)·g(x)＋两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方f(x)·g′(x)[f(x)·g(x)]′＝2.复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作.复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于.x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积想一想：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？提示在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．名师点睛1．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f′n(x)．②[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；③当f(x)＝1时，有1gx′＝－g′xg2x.(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．2．复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y＝sin2x＋π3的导数，设y＝sinu，u＝2x＋π3，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cosu＝2cos2x＋π3.(4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写．题型一利用导数的运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝x＋3x2＋3；(4)y＝xsinx－2cosx；(5)y＝x5＋x7＋x9x；(6)y＝x－sinx2cosx2.[思路探索]可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求解．解(1)y′＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′x2＋32＝－x2－6x＋3x2＋32.(4)y′＝(xsinx)′－2cosx′＝sinx＋xcosx－2sinxcos2x.(5)∵y＝x5＋x7＋x9x＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.(6)先使用三角公式进行化简，得y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．【变式1】求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－1x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝exx＋ex·lnx；(4)y′＝1xln10＋2x3.题型二求复合函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝11－2x2；(2)y＝e2x＋1；(3)y＝(x－2)2；(4)y＝5log2(2x＋1)．[思路探索]可分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的求导法则求解．(2)y＝eu，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(3)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×＝1－2x.法二令u＝x－2，则y′x＝y′u·u′x＝2(x－2)·(x－2)′＝2(x－2)12·1x－0＝1－2x.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝10uln2＝102x＋1ln2.应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．【变式2】求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝sin4x4＋cos4x4；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x.解(1)y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)∵y＝sin4x4＋cos4x4＝sin2x4＋cos2x42－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝－14sinx.(3)∵y＝1＋x1－x＋1－x1＋x＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.题型三求导法则的应用【例3】求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．[规范解答]设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－2(2分)故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)①(3分)∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0②(4分)又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．(6分)解得x0＝1或x0＝－12.(8分)故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．(10分)即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.(12分)【题后反思】点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．【变式3】若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1)处的切线方程，结果会怎样？解∵点A(1，－1)在曲线上，点A是切点，∴在A处的切线方程为x－y－2＝0.方法技巧数形结合思想在导数中的应用数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．【示例】讨论关于x的方程lnx＝kx解的个数．[思路分析]通过求导的方法求出曲线y＝lnx与直线y＝kx相切时k的值，借助图形回答问题．解如图，方程lnx＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝lnx交点的个数．设直线y＝kx与y＝lnx切于P(x0，lnx0)，则kx0＝lnx0.∵(lnx)′＝1x，∴k＝1x0，kx0＝1＝lnx0.∴x0＝e，k＝1e.结合图象知：当k≤0或k＝1e时，方程lnx＝kx有一解．当0k1e时，方程lnx＝kx有两解．当k1e时，方程lnx＝kx无解．方法点评函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁．