旋转题型训练

旋转题型训练基本模型构建常见模型思考上图中，△A𝐸′𝐵旋转到AED的位置，可得△A𝐸′𝐸为等腰三角形。如果四边形ABCD是矩形或正方形，则△A𝐸′𝐸为等腰直角三角形上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，可以得到∠EAC=∠DAB，如果∠B=60°，所以△ADB为等边三角形探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换例1：如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=12ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；（2）①成立，理由如下：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=12ED，∴∠CAD=45°，∴角α的度数是45°．例2：如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．⑴操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．⑵猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．⑶拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BE=6，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【答案】（1）①如图2中，由旋转可知：CA=CD，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAD=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∵∠ECD=90°，∠DEC=30°，∴∠CDE=60°，∴∠EDC=∠DCA，∴DE∥AC，②∵AB=2AC，AD=AC，∴AD=BD，∴S△BDC=S△ADC，∵DE∥AC，∴S△ADC=S△ACE，∴S1=S2．故答案为：DE∥AC，S1=S2．（2）如图3中，分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，90ACNDCMANCDMCACCD＝＝＝＝∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴S△BDC=S△AEC．（3）如图，过点D作DF∥BE，DE∥AB，DF∥BE∴四边形BEDF是平行四边形∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，∴ED=EB∴平行四边形BEDF是菱形所以BE=DF，且BE、DF上的高相等，此时1DFCS=S△BDE；过点D作DF′⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F′FD=∠ABC=60°，∵BF=DF，∠F1BD=12∠ABC=30°，∠F′DB=90°，∴∠FDF′=60°，∴△DFF′是等边三角形，∴DF=DF′，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，∴∠CDF=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF′=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF∠CDF′，∵在△CDF和△CDF′中，DFDFCDFCDFCDCD＝＝＝∴△CDF≌△CDF′（SAS），∵S△DCF=S△BDE，∴点F′也是所求的点，∵BE=6，∴BF=BE=DF=FF′=6，∴BF′=12，综上，BF的长为6或12．变式1：如图1，一副直角三角板ABC和DEF，30F∠，将ABC和DEF放置如图2的位置，点B、D、C、F在同一直线上。（1）如图3，ABC固定不动，DEF绕点D逆时针旋转30时，判断BC与EF的位置关系，并说明理由。（2）在图2的位置上，DEF绕点D逆时针旋转0180oo，在旋转过程中，两个三角形的边是否存在垂直关系？若存在直接写出旋转的角度，并写出哪两边垂直，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）BCEF∥.理由如下：∵30F∠，30FDCo，∴FFDC，∴BCEF∥.（2）如图①，当α=45°时，∠ACB+∠FDC=90°，∠B+∠EDB=90°;∴DF⊥AC，DE⊥AB;如图②，当α=75°时，∵∠FGC+∠F=∠ACB+α,∴∠FGC=90°∴EF⊥AC;如图③，当α=90°时，∴DF⊥BC;如图④，当α=135°时，∠B+∠BDF=90°,∴DE⊥AC，DF⊥AB.变式2：如图1所示，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使60AOC，将一块透明的三角尺的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，边ON在直线AB的下方.（1）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至如图2所示的位置，使边OM在BOC的内部，且恰好平分BOC，求CON的度数.（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOC，则t的值为________（直接写出结果）.（3）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至如图3所示的位置，使ON在AOC的内部，请探究AOM∠与NOC之间的关系，并说明理由.【详解】解：（1）∵∠BOC+∠AOC=180°，∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，∵OM恰好平分∠BOC，∴∠MOC=60°，∵∠MON=90°，∴∠CON=90°+∠MOC=150°；（2）∠AOC=60°，①如左图，延长NO，当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴∠AOD=∠COD=30°，即逆时针旋转60°时NO延长线平分∠AOC，由题意得，10t=60，∴t=6；②如右图，当NO平分∠AOC，∴∠AON=30°，即逆时针旋转240°时NO平分∠AOC，∴10t=240，∴t=24，∴t的值为6秒或24秒；（3）∵∠MON=90°，60AOC，∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．故答案为：（1）150°；（2）t的值为6秒或24秒；（3）∠AOM-∠NOC=30°，理由见解析．变式3：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算𝐵𝐷2+𝐴𝐸2的值．【答案】（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：（1）设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE∵AC=BCCD=CE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE∠CAD=∠CBF∵∠BFC=∠AFG∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE∵∠BFC=∠AFG∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD∴∠AGE=∠BGD=90°∴𝐴𝐸2=𝐴𝐺2+𝐸𝐺2，𝐵𝐷2=𝐵𝐺2+𝐷𝐺2．∴𝐵𝐷2+𝐴𝐸2=𝐴𝐺2+𝐸𝐺2+𝐵𝐺2+𝐷𝐺2．∵𝐴𝐺2+𝐵𝐺2=𝐴𝐵2，𝐸𝐺2+𝐷𝐺2=𝐸𝐷2，∴𝐵𝐷2+𝐴𝐸2=𝐴𝐵2+𝐸𝐷2=𝐶𝐴2+𝐶𝐵2+𝐶𝐷2+𝐶𝐸2=125探究点二：以四边形为基础的图形的旋转变换例1：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时𝐵𝐷=𝐶𝐹，𝐵𝐷⊥𝐶𝐹成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转𝛼(0°𝛼90°)时，如图②，𝐵𝐷=𝐶𝐹成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；（i）求证：𝐵𝐷⊥𝐶𝐹；（ii）当𝐴𝐵=√2，𝐴𝐷=√3+1时，则线段FC的长为_______．【答案】解：（l）BD＝CF成立；理由如下：由旋转得：AB＝AC，∠CAF＝∠BAD＝α，AD＝AF，在△ABD和△ACF中，{𝐴𝐷=𝐴𝐹∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐶𝐴𝐹𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴BD＝CF；（2）（i）证明：由（1）得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，∵∠HNF＝∠AND，∠AND＋∠ADN＝90°，∴∠HFN＋∠HNF＝90°，∴∠NHF＝90°，∴HD⊥HF，即BD⊥CF；（ii）解：∵四边形ADEF是正方形，∴AF＝AD＝√3＋1，∠DAF＝90°，AD⊥AF，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，BC＝√2AB＝2，由旋转的性质得：∠BAD＝45°＝∠ABC，∴BC∥AD，∴BC⊥AF，∴AP＝BP＝CP＝12BC＝1，∴PF＝AF−AP＝√3，∴FC＝√𝑃𝐹2+𝑃𝐶2=√(√3)2+12=2.例2：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．①求证：MA＝MC；②求MN的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积【答案】（1）①证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐶，由旋转的性质得：∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐹𝐴𝐸，∴𝑀𝐴=𝑀𝐶；②解：设𝑀𝐴=𝑀𝐶=𝑥，则𝐷𝑀=8−𝑥，在Rt𝛥ADM中，62+(8−𝑥)2=𝑥2，解得：𝑥=254，在Rt𝛥AEF中，𝐴𝐹=√𝐴𝐸2+𝐸𝐹2=√82+62=10，∴𝑀𝐹=𝐴𝐹−𝐴𝑀=154，∵∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝑁=90°，∴∠𝑀𝐶𝐴+∠𝐶𝑁𝐸=∠𝑀𝐴𝐶+∠𝐴𝐸𝐹=90°，又∵∠𝑀𝐶𝐴=∠𝑀𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐶𝑁𝐸=∠𝑀𝑁𝐹，∴𝑀𝑁=𝑀𝐹=154；（2）解：分情况讨论：①如图2所示：过点𝐵