学科网备战高考数学极限

3年高考2年模拟1年原创极限1学科网备战高考数学极限【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布极限作为初等数学与高等数学的衔接点，每年必考，主要考查极限的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“小题”，在选择、填空题中出现，都属容易题；极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．【考点pk】名师考点透析考点一、数学归纳法【名师点睛】1．数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标2．数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.．【试题演练】设数列{an}满足a1=2，an+1=an+na1（n=1，2，…）.（1）证明an＞12n对一切正整数n都成立；（2）令bn=nan（n=1，2，…），判定bn与bn+1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n=1时，a1=2＞112，不等式成立.假设n=k时，ak＞12k成立，当n=k+1时，ak+12=ak2+21ka+2＞2k+3+21ka＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，ak+1＞1)1(2k成立.综上，由数学归纳法可知，an＞12n对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2＞3=112结论成立.假设n=k时结论成立，即ak＞12k，当n=k+1时，由函数f（x）=x+x1（x＞1）的单调递增性和归纳假设有3年高考2年模拟1年原创极限2ak+1=ak+ka1＞12k+121k=12112kk=1222kk=124842kkk＞12)12)(32(kkk=32k.∴当n=k+1时，结论成立.因此，an＞12n对一切正整数n均成立.（2）解：nnbb1=nanann11=（1+21na）1nn＜（1+121n）1nn=1)12()1(2nnnn=12)1(2nnn=2141)21(2nn＜1.故bn+1＜bn.误点警示：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.二、数列的极限．【名师点睛】1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数【试题演练】1求下列数列的极限：（1）nlim757222nnn;（2）nlim（nn2－n）;（3）nlim（22n+24n+…+22nn）.分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因nn2与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）nlim757222nnn=nlim2275712nnn=52.3年高考2年模拟1年原创极限3（2）nlim（nn2－n）=nlimnnnn2=nlim1111n=21.（3）原式=nlim22642nn=nlim2)1(nnn=nlim（1+n1）=1.误点警示：:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim)72(lim22nnnnn==1,②∵nlim（2n2+n+7）,nlim（5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①nlim（nn2－n）=nlimnn2－nlimn=∞－∞=0;②原式=nlimnn2－nlimn=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=nlim22n+nlim24n+…+nlim22nn=0+0+…+0=0这样的错误.2.已知数列｛na｝是由正数构成的数列，1a＝3，且满足lgna＝lg1na＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛na｝的通项公式及前n和ns；（2）求nlim1122nnnnaa的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·1na,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则na＝3·ｃn－1.∴ns＝3(1)3(1)(01).1nnccccc且（2）nlim1122nnnnaa＝nlimnnnncc323211.①当c=2时，原式＝－41;②当ｃ＞2时，原式＝nlimcccnn3)2(23)2(11＝－c1;③当0＜ｃ＜2时，原式=nlim11)2(32)2(31nnccc＝21.误点警示：几个常用的极限：①nlimC=C（C为常数）;②nlimn1=0;③nlimqn=0（|q|＜1）。求数列极限时要注意分类讨论三、函数的极限．根限的四则运算法则．【名师点睛】1.函数极限的概念：（1）如果xlim()fx=a且xlim()fx=a,那么就说当x趋向于无穷大时，3年高考2年模拟1年原创极限41.求下列函数的极限：（1）2limx（)21442xx（2）xlim（))((bxax－x）（3）0limx||xx；（4）2πlimx.2sin2coscosxxx解:（1）原式＝2limx4)2(42xx＝2limx21x=－41.（2）原式=xlimxabxbaxabxba)()(2=a+b.（3）因为0limx||xx=1,而=0limx||xx=－1，0limx||xx≠0limx||xx,所以0limx||xx不存在．（4）原式=2πlimx2sin2cos2sin2cos22xxxx＝2πlimx（cos2x+sin2x）＝2误点警示：1。函数极限有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需注意.2．在求函数极限时需观察，对不能直接求的可以化简后求，但要注意xlimxx12与xlimxx12的区别.四、函数的连续性【名师点睛】1.函数的连续性.一般地，函数()fx在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数()fx在点x=x0处有定义；（2）0limxx()fx存在；（3）0limxx()fx=0()fx.如果函数y=()fx在3年高考2年模拟1年原创极限5点x=x0处及其附近有定义，而且0limxx()fx=0()fx,就说函数()fx在点x0处连续.2.如果()fx是闭区间［a,b］上的连续函数，那么()fx在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.3.若()fx、()gx都在点x0处连续,则()fx±()gx,()fx·g（x）,)()(xgxf（()gx≠0）也在点x0处连续.若()ux在点x0处连续,且()ux在u0=0()ux处连续,则复合函数(())fux在点x0处也连续.特别提示（1）连续必有极限,有极限未必连续（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的.【试题演练】1讨论函数()fx=)0(1;0),0(0),0(1xxxx处的连续性在点分析：需判断0limx()fx=0limx()fx=f（0）.解:∵0limx()fx=－1,0limx()fx=1,0limx()fx≠0limx()fx,∴0limx()fx不存在.∴()fx在x=0处不连续.2.设()fx=),0(),0(exxaxx当a为何值时,函数()fx是连续的.分析：函数()fx在x=0处连续,而在x≠0时,()fx显然连续,于是我们可判断当a=1时,()fx在（－∞,+∞）内是连续的.解:0limx()fx=0limx（a+x）=a,0limx()fx=0limxex=1,而f（0）=a,故当a=1时,0limx()fx=f（0）,误点警示：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【三年高考】07、08、09高考试题及其解析2009高考试题及解析1北京（理）9．1lim1xxxxx__________.【答案】12【解析】∵(1)1(1)(1)1xxxxxxxxxx，∴111limlim121xxxxxxxx，故填12.2重庆理（8）已知22lim()21xxaxbx，其中,abR，则ab的值为（A）6（B）2（C）2（D）63年高考2年模拟1年原创极限6【答案】D【解析】222(2)(6)6611xaxaxaxxx所以20224aaabb则6ab3湖北理6.设222212012122)...2nnnnnxaaxaxaxax（，则22024213521lim[(...)(...)]nnnaaaaaaaa.1A.0B.1C2.2D【答案】选B。【解析】∵22024213521()()nnaaaaaaaa012320123212()()nnnaaaaaaaaaaa令nxxf2)22()((*Nn),则01232naaaaa)1(f，0123212nnaaaaaa)1(f，∴22024213521()()nnaaaaaaaa)1()1(ffnn22)122()122(n221)22(n2)21(n)41(，∴22024213521lim[(...)(...)]nnnaaaaaaaa0.4湖南（理科）15、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=103，…，f(n)=16(n+1)(n+2)【答案】10(1)(2)36nn；【解析】（1）由于任意一条线上的数成等差数列，记,,ABC三点的数分别为,,ABCxxx，则在,,ABBCCA上的两点所对应的数的和等于2ABCxxx，又由重心性质可得：三角形中心点对应的为3ABCxxx，3年高考2年模拟1年原创极限7所以1103333f.（2）因为1011,22,33fff，所以2334451,2,3666fff归纳得：126nnfn.5陕西理13．设等差数列{}na的前n项和为nS，若6312aS，则2limnnSn．【答案】1【解析】由61315123312aadSad122ad2nSnn2221limlimlim(1)1nnnnSnnnnn．2008高考试题及解析一选择题1．（湖北卷理8）已知*mN,,abR，若0(1)limmxxabx,则ab（）A．