初一因式分解的方法和能力提高训练

因式分解能力提高因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)解：a+4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x-x-6x-x+2解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6解：令y=x+2x-5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x+9x+23x+15解：令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)提公因式法——形如mambmcmabc()运用公式法——平方差公式：ababab22()()，完全平方公式：aabbab2222()2222222abcabbccaabc一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于A．(n－2)(m＋m2)B．(n－2)(m－m2)C．m(n－2)(m＋1)D．m(n－2)(m－1)3．在下列等式中，属于因式分解的是A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A．a2＋b2B．－a2＋b2C．－a2－b2D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是A．－12B．±24C．12D．±126．把多项式an+4－an+1分解得A．an(a4－a)B．an-1(a3－1)C．an+1(a－1)(a2－a＋1)D．an+1(a－1)(a2＋a＋1)7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为A．8B．7C．10D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为A．x=1，y=3B．x=1，y=－3C．x=－1，y=3D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得A．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)210．把x2－7x－60分解因式，得A．(x－10)(x＋6)B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20)D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得A．(3x＋4)(x－2)B．(3x－4)(x＋2)C．(3x＋4y)(x－2y)D．(3x－4y)(x＋2y)12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得A．(a＋11)(a－3)B．(a－11b)(a－3b)C．(a＋11b)(a－3b)D．(a－11b)(a＋3b)13．把x4－3x2＋2分解因式，得A．(x2－2)(x2－1)B．(x2－2)(x＋1)(x－1)C．(x2＋2)(x2＋1)D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为A．－(x＋a)(x＋b)B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b)D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是A．x2－11x－12或x2＋11x－12B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有A．1个B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为A．(x－6y＋3)(x－6x－3)B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3)D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c)B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2)D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数C．相等的数D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8)D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为A．(a2＋b2＋ab)2B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab)D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果A．3x2＋6xy－x－2yB．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xyD．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解为A．(64a4－b)(a4＋b)B．(16a2－b)(4a2＋b)C．(8a4－b)(8a4＋b)D．(8a2－b)(8a4＋b)24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为A．(5x－y)2B．(5x＋y)2C．(3x－2y)(3x＋2y)D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2C．(3x－2y＋1)2D．(2y－3x－1)226．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为A．(3a－b)2B．(3b＋a)2C．(3b－a)2D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为A．c(a＋b)2B．c(a－b)2C．c2(a＋b)2D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为A．0B．1C．－1D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是A．－(a2＋b2)(3x＋4y)B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y)C．(a2＋b2)(3x－4y)D．(a－b)(a＋b)(3x－4y)30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是A．2(a＋b－2c)B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c)D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2