综合评价与决策方法

第14章综合评价与决策方法张敬信基础科学学院数学建模算法与应用•数学模型按功能大致分三种：评价、优化、预测•（综合）评价模型的例子1.研究生院、城市发展力评估；2.医疗、环境、企业效益等评价；3.人事考核，供应商选取；4.（14美赛B题）评选五佳大学教练；……综合评价是根据一个复杂系统同时受到多种因素影响的特点，在综合考察多个有关因素时，通过处理各个因素的指标数据计算综合指标，对复杂系统进行总的评价。综合评价的要点•1.有多个可测量或可量化的评价指标；•2.有一个或多个评价对象，这些对象可以是人、单位、方案、标书科研成果等；•3.根据多指标信息计算一个综合指标，把多维空间问题简化为一维空间问题中解决，依据综合指标值大小对评价对象优劣程度进行排序。综合评价的一般步骤根据评价目的，(1)选择恰当的评价指标（代表性、区别性，互相独立、可以测量）组成评价指标体系。(2)确定各评价指标在的相对重要性（权重）；(3)合理确定各单个指标的评价等级及其界限；(4)根据数据特征，选择适当的综合评价方法，建立综合评价模型；(5)应用模型、检验有效性、推广。主要的综合评价方法•主观赋权类（人为给定）：指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法、灰色关联分析法等。•客观赋权类（依据指标间相互关系、各指标值变异程度）：主成分分析法、因子分析法、理想解法、数据包络分析法等。秩和比综合评价法理想解法亦称为TOPSIS法，用来处理多属性决策问题，是一种有效的多指标评价方法。该方法通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对“距离”，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对方案进行排序，从而选出最优方案。14.1理想解法（TOPSIS法）（1）数据预处理，得到规范化决策矩阵设多属性决策问题的决策矩阵()ijmnAa，规范化决策矩阵()ijmnBb，其中21mijijijibaa，1,,im，1,,jn（14.1）（2）构成加权规范阵()ijmnCc设由决策人给定各属性的权重向量为12[,,,]Tn，则ijjijcwb，1,,im，1,,jn（14.2）14.1.2TOPSIS法的算法步骤（3）确定正理想解*C和负理想解0C设正理想解*C的第j个属性值为*jc，负理想解0C第j个属性值为0jc，则正理想解*max,,min,,ijijijicjccj为效益型属性为成本型属性1,,jn（14.3）负理想解0min,,max,,ijijijicjccj为效益型属性为成本型属性1,,jn（14.4）（4）计算各方案到正理想解与负理想解的距离备选方案id到正理想解的距离为**21()niijjjscc，1,,im.（14.5）备选方案id到负理想解的距离为0021()niijjjscc，1,,im.（14.6）（5）计算各方案的排队指标值（即综合评价指数）*00*/()iiiifsss，1,2,,im.（14.7）（6）按*if由大到小排列方案的优劣次序。例14.1研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，选取5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估，表14.1是所给出的部分数据。ji人均专著（本/人）生师比科研经费（万元/年）逾期毕业率（%）10.1550004.720.2660005.630.4770006.740.910100002.351.224001.8表14.1研究生院试评估的部分数据设多属性决策方案集为12{,,,}mDddd，衡量方案优劣的指标（属性）变量为1,,nxx，这时方案集D中的每个方案id（1,,im）的n个属性值构成的向量是1[,,]iinaa，它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案id。所有id排成一列就是决策矩阵：10.1550004.70.2660005.6()=0.4770006.70.910100002.31.224001.8ijmnmdAad研究生院1,2,3,4,5(m)人均专著等4个属性(n)第i行数据，n维向量决策矩阵（表中的数据）第一步，数据预处理——又称属性值的规范化。属性值一般分为：效益型（值越大越好）；成本型（值越小越好）；区间型（值在某个区间最好）。进行属性值规范化的作用：（1）不同指标的属性值不能直接从数值大小判断方案的优劣，需要预处理数据使得属性数值的大小能反映方案的优劣（越大越优）。（2）非量纲化：不同的属性值具有不同的单位（量纲），需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响。（3）归一化：不同指标的属性值的数值大小差别很大，进行评价决策前需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数值均变换到[0，1]区间上。常用的属性规范化方法：（1）线性变换原决策矩阵为()ijmnAa，变换后的决策矩阵记为()ijmnBb。设maxja是决策矩阵第j列中的最大值，minja是决策矩阵第j列中的最小值。①若jx为效益型属性，则max/ijijjbaa.（14.8）变换后，最差属性值不一定为0，最好属性值为1。②若jx为成本型属性，则max1/ijijjbaa（14.9）变换后，最好属性值不一定为1，最差属性值为0。（2）标准0－1变换为了使属性变换后的最好值为1且最差值为0，可以进行标准0－1变换。对效益型属性jx，令minmaxminijjijjjaabaa，（14.10）对成本型属性jx，令maxmaxminjijijjjaabaa.（14.11）（3）区间型属性的变换有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。设给定的最优属性区间为0*[,]jjaa，'ja为无法容忍下限，ja为无法容忍上限，则00''00****1()/(),,1,,1()/(),,0,.jijjjjijjjijjijijjjjjijjaaaaaaaaaabaaaaaaa若若若其它（14.12）注：ijb与ija之间的函数图形一般为梯形。设研究生院的生师比最佳区间为[5,6]，'22a，212a。表14.1的属性“生师比”的数据处理Matlab代码：x2=@(qujian,lb,ub,x)(1-(qujian(1)-x)./(qujian(1)-lb)).*(x=lb&xqujian(1))...+(x=qujian(1)&x=qujian(2))...+(1-(x-qujian(2))./(ub-qujian(2))).*(xqujian(2)&x=ub);qujian=[5,6];lb=2;ub=12;a(:,2)=x2(qujian,lb,ub,a(:,2));%“生师比”数据做变换20ji生师比处理后的生师比151261370.83334100.3333520表14.2“生师比”数据处理结果（4）向量规范化无论成本型还是效益型属性，向量规范化均用下式进行线性变换：21mijijijibaa，1,,im，1,,jn.（14.13）与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1，因此常用于计算各方案与某种虚拟方案（如理想点或负理想点）的欧氏距离的场合。22forj=1:nb(:,j)=a(:,j)/norm(a(:,j));%向量规范化endji人均专著生师比科研经费逾期毕业率10.06380.5970.34490.454620.12750.5970.41390.541730.25500.49750.48290.648140.57380.1990.68980.222550.765100.02760.1741表14.4表11.3的数据经规范化后的属性值（5）标准化处理*在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，即ijjijjaabs，1,2,,im，1,2,,jn，（14.14）其中，11mjijiaam，211()1mjijjisaxm，1,2,,jn代码：y=zscore(a)%对矩阵a标准化表14.3表1数据经标准化的属性值表ji人均专著1x生师比2x科研经费3x逾期毕业率4x1-0.9741-0.3430-0.19460.22742-0.762300.09160.65373-0.33880.34300.37771.174740.72001.37201.2362-0.909551.3553-1.3720-1.5109-1.1463第二步，设权向量为[0.2,0.3,0.4,0.1]w，得加权的向量规范化属性矩阵。代码：w=[0.20.30.40.1];%1×nc=b.*repmat(w,m,1);%加权表14.5归范化后的数据做加权处理ji人均专著1x生师比2x科研经费3x逾期毕业率4x10.01280.17910.13800.045520.02550.17910.16560.054230.05100.14930.19310.064840.11480.05970.27590.022250.153000.01100.0174第三步，求正理想解、负理想解。正理想解***1[,,]nCcc*max,,min,,ijijijicjccj为效益型属性为成本型属性1,,jn（14.3）负理想解0001[,,]nCcc0min,,max,,ijijijicjccj为效益型属性为成本型属性1,,jn（14.4）27Cstar=max(c);%正理想解（对各列关于各行取最大值）Cstar(4)=min(c(:,4))%成本型取最小值C0=min(c);%负理想解C0(4)=max(c(:,4))%成本型取最大值得正、负理想解：*[0.1530,0.1791,0.2759,0.0174]C0[0.0128,0,0.0110,0.0648]C第四步，计算各方案到正理想解与负理想解的距离。备选方案id到正理想解的距离为**21()niijjjscc，1,,im.备选方案id到负理想解的距离为0021()niijjjscc，1,,im.29表14.6距离值及综合指标值*is0is*if10.19870.22040.525820.17260.23710.578730.14280.23850.625540.12550.29320.700350.31980.14810.3165fori=1:mSstar(i)=norm(c(i,:)-Cstar);%d_i到正理想解的距离S0(i)=norm(c(i,:)-C0);%d_i到正理想解的距离end第五步，计算各方案的排队指标值（即综合评价指数）*00*/()iiiifsss，1,,im.代码：f=S0./(Sstar+S0);第六步，按*if由大到小排列方案的优劣次序。代码：[sf,ind]=sort(f,'descend')运行结果：sf=0.70030.62550.57870.52580.3165ind=43215即从优到劣的次序为4，3，2，1，5。该方法通常应用到现代企业人力资源管理中，用来做人事考核评价。进而为企业员工职务升迁、评先晋级、聘用等提供重要依据，促进人事管理的规范化和科学化，提高人事管理的工作效率。14.2模糊综合评判法人事考核的特点是：存在大量具有模糊性的概念，这种模糊性或不确定性来源于很多考核指标都难以直接量化。在评判实施过程中，评判者又容易受经验、人际关系等主观因素的影响，因此对人才的综合素质评判往往带有一定的模糊性与经验性。若考核指标个数较少，用一级模糊综合评判即可，否则用二级或三级模糊综合评判，以提高精度。14.2.1一级模糊综合评判（1）确定因素集对员工的表现，需要从多个方面进行综合评判