[2020理数]课时跟踪检测(三十八)--基本不等式

课时跟踪检测（三十八）基本不等式[A级基础题——基稳才能楼高]1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B．12C.22D．1解析：选B显然x≥0.当x＝0时,f(x)＝0；当x0时,x＋1≥2x,∴f(x)≤12,当且仅当x＝1时取等号,f(x)max＝12.2,若a,b∈R,则下列恒成立的不等式是()A.|a＋b|2≥|ab|B．ba＋ab≥2C.a2＋b22≥a＋b22D．(a＋b)1a＋1b≥4解析：选C由于a,b∈R,所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察,先考虑C项．∵a2＋b22－a＋b22＝2a2＋b2－a2＋2ab＋b24＝a2－2ab＋b24＝a－b24≥0,∴a2＋b22≥a＋b22.3．(2018·东北三省四市一模)已知x0,y0,且4x＋y＝xy,则x＋y的最小值为()A．8B．9C．12D．16解析：选B由题意可得4y＋1x＝1,则x＋y＝(x＋y)·4y＋1x＝5＋4xy＋yx≥5＋24xy×yx＝9,当且仅当4xy＝yx,即x＝3,y＝6时等号成立,故x＋y的最小值为9.4．已知x,y都为正实数,且x＋y＋1x＋1y＝5,则x＋y的最大值是()A．3B．3.5C．4D．4.5解析：选C因为x＋y＋1x＋1y＝x＋y＋x＋yxy≥x＋y＋x＋yx＋y22＝x＋y＋4x＋y,所以x＋y＋4x＋y≤5.令x＋y＝t.则t2－5t＋4≤0,解得1≤t≤4.5．(2019·西藏林芝期中)若x,y均为正数,则3xy＋12yx＋13的最小值是()A．24B．28C．25D．26解析：选C因为x,y均为正数,所以由基本不等式得3xy＋12yx＋13≥23xy·12yx＋13＝25,当且仅当x＝2y时等号成立,故3xy＋12yx＋13的最小值是25,故选C.[B级保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州外国语学校月考)若ab1,P＝lga·lgb,Q＝12(lga＋lgb),R＝lga＋b2,则()A．RPQB．QPRC．PQRD．PRQ解析：选C∵ab1,∴lgalgb0,12(lga＋lgb)lga·lgb,即QP.∵a＋b2ab,∴lga＋b2lgab＝12(lga＋lgb),即RQ,∴PQR.2．(2019·湖北稳派教育联考)若x0,y0,则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是()A．x＝yB．x＝2yC．x＝2且y＝1D．x＝y或y＝1解析：选C∵x0,y0,∴x＋2y≥22xy,当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件,故选C.3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为2,若aman＝4a22,则2m＋12n的最小值为()A．1B．12C.34D．32解析：选C由题意知aman＝a212m＋n－2＝4a2122＝a2124,∴m＋n＝6,则2m＋12n＝162m＋12n(m＋n)＝16(52＋2nm＋m2n)≥16×52＋2＝34,当且仅当m＝2n时取等号,∴2m＋12n的最小值为34,故选C.4．(2019·岳阳一中模拟)已知ab0,则2a＋4a＋b＋1a－b的最小值为()A．6B．4C．23D．32解析：选A因为4a＋b＋1a－b＝12a(4a＋b＋1a－b)·[]a＋b＋a－b＝12a[5＋a＋ba－b＋4a－ba＋b]≥12a(5＋4)＝92a(当且仅当a＝3b时取等号),所以2a＋4a＋b＋1a－b≥2a＋92a≥6(当且仅当a＝32时后一个不等式取等号),故选A.5．(2019·甘肃诊断)已知向量a＝(3,－2),b＝(x,y－1),且a∥b,若x,y均为正数,则3x＋2y的最小值是()A.53B．83C．8D．24解析：选C因为a∥b,故3(y－1)＝－2x,整理得2x＋3y＝3,所以3x＋2y＝13(2x＋3y)3x＋2y＝13(12＋9yx＋4xy)≥1312＋29yx·4xy＝8,当且仅当x＝34,y＝12时等号成立,所以3x＋2y的最小值为8,故选C.6．若实数a,b,c满足a2＋b2＋c2＝8,则a＋b＋c的最大值为()A．9B．23C．32D．26解析：选D(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.∵a2＋b2≥2ab,a2＋c2≥2ac,b2＋c2≥2bc,∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24,当且仅当a＝b＝c时取等号,∴a＋b＋c≤26.7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8－2S4＝5,则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A．10B．15C．20D．25解析：选C由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8,由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5,由等比数列的性质可得S4,S8－S4,S12－S8成等比数列,则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2,综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝S4＋52S4＝S4＋25S4＋10≥2S4×25S4＋10＝20,当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB＝4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA―→＋PB―→)·PC―→的最小值是()A．2B．0C．－1D．－2解析：选D∵O为AB的中点,∴PA―→＋PB―→＝2PO―→,从而(PA―→＋PB―→)·PC―→＝2PO―→·PC―→＝－2|PO―→|·|PC―→|.又|PO―→|＋|PC―→|＝|OC―→|＝12AB＝2≥2|PO―→|·|PC―→|,∴|PO―→|·|PC―→|≤1,∴－2|PO―→|·|PC―→|≥－2,∴当且仅当|PO―→|＝|PC―→|＝1,即P为OC的中点时,(PA―→＋PB―→)·PC―→取得最小值－2,故选D.9．(2019·玉溪月考)在△ABC中,若a2＋b2＝2c2,则内角C的最大值为()A.π6B．π4C.π3D．2π3解析：选C∵a2＋b2＝2c2,∴由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab≥a2＋b2－c2a2＋b2＝2c2－c22c2＝12,当且仅当a＝b时取等号．∵C是三角形的内角,∴角C的最大值为π3,故选C.10．(2019·淮安学情调研)已知正数x,y满足x＋2y＝3,则yx＋1y的最小值为________．解析：∵x0,y0,x＋2y＝3,∴yx＋1y＝yx＋x＋2y3y＝yx＋x3y＋23≥2yx·x3y＋23＝23＋23,当且仅当yx＝x3y即x＝63－9,y＝6－33时等号成立,∴yx＋1y的最小值为23＋23.答案：23＋2311．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m,n满足2m＋n＋6＝mn,则mn的最小值是________．解析：由2m＋n＋6＝mn,m0,n0,得22mn＋6≤2m＋n＋6＝mn,令2mn＝t(t0),则2t＋6≤t22,即t2－4t－12≥0,解得t≤－2(舍)或t≥6,即2mn≥6,mn≥18,则mn的最小值是18.答案：1812．(2019·张掖月考)设a0,b1,若a＋b＝2,则3a＋1b－1的最小值为________．解析：∵a0,b1,a＋b＝2,∴3a＋1b－1＝3a＋1b－1(a＋b－1)＝3＋3b－1a＋ab－1＋1＝4＋3b－1a＋ab－1≥4＋23,当3b－1a＝ab－1,即a＝3－32,b＝3＋12时取等号,故最小值为4＋23.答案：4＋2313．(2019·石家庄高三一检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a0,b0)经过点(2,3),则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2,3),所以2a＋3b－ab＝0,所以b＝2aa－30,所以a－30,所以a＋b＝a＋2aa－3＝a－3＋6a－3＋5≥5＋2a－3·6a－3＝5＋26,当且仅当a－3＝6a－3,即a＝3＋6,b＝2＋6时等号成立．答案：5＋2614．(2018·唐山二模)已知a0,b0,c0,d0,a2＋b2＝ab＋1,cd1.(1)求证：a＋b≤2；(2)判断等式ac＋bd＝c＋d能否成立,并说明理由．解：(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3a＋b22＋1,当且仅当a＝b时取等号．解得(a＋b)2≤4,又a,b0,所以a＋b≤2.(2)不能成立．理由：由均值不等式得ac＋bd≤a＋c2＋b＋d2,当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．因为a＋b≤2,所以ac＋bd≤1＋c＋d2.因为c0,d0,cd1,所以c＋d＝c＋d2＋c＋d2≥c＋d2＋cdc＋d2＋1≥ac＋bd,故ac＋bd＝c＋d不能成立．15．(2019·孝感模拟)经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝175x2－130x＋4900，x∈[50，80，12－x60，x∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗油量最少？(2)已知A,B两地相距120km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x∈[50,80)时,y＝175(x2－130x＋4900)＝175[(x－65)2＋675],所以当x＝65时,y取得最小值,最小值为175×675＝9.当x∈[80,120]时,函数y＝12－x60单调递减,故当x＝120时,y取得最小值,最小值为12－12060＝10.因为910,所以当x＝65,即该型号汽车的速度为65km/h时,可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为lL,由题意可知l＝y·120x,①当x∈[50,80)时,l＝y·120x＝85x＋4900x－130≥852x×4900x－130＝16,当且仅当x＝4900x,即x＝70时,l取得最小值,最小值为16；②当x∈[80,120]时,l＝y·120x＝1440x－2为减函数,所以当x＝120时,l取得最小值,最小值为10.因为1016,所以当速度为120km/h时,总耗油量最少．