空间几何体的表面积和体积(一轮复习)

空间几何体的表面积和体积立体几何第七章立体几何第二节空间几何体的表面积和体积抓基础明考向提能力空间几何体的表面积和体积立体几何[备考方向要明了]考什么会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式)空间几何体的表面积和体积立体几何怎么考1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题．2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、填空题.空间几何体的表面积和体积立体几何柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝V＝＝圆锥S侧＝V＝＝＝圆台S侧＝V＝(S上＋S下＋)h＝2πrlShπr2hπrlπ(r1＋r2)l13Sh13πr2h13πr2l2－r213S上·S下13π(r21＋r22＋r1r2)h知识梳理空间几何体的表面积和体积立体几何面积体积直棱柱S侧＝V＝正棱锥S侧＝V＝正棱台S侧＝V＝球S球面＝V＝ChSh12Ch′13Sh12(C＋C′)h′13(S上＋S下＋S上·S下)h4πR243πR3空间几何体的表面积和体积立体几何1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2)D．144解析：其侧面面积为6×6×4＝144，底面积为2×34×42×6＝483，∴S全＝48(3＋3)．空间几何体的表面积和体积立体几何2.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.324πR3B.38πR3C.524πR3D.58πR3解析：圆锥的母线长为R，底面半径为R2，高为32R，则V＝13Sh＝324πR3.答案：A空间几何体的表面积和体积立体几何3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.答案：A空间几何体的表面积和体积立体几何4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.8π3B.82π3C．82πD.32π3解析：S圆＝πr2＝π⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离d＝1，∴球的半径为R＝r2＋d2＝2，∴V＝43πR3＝82π3，故选B.答案：B空间几何体的表面积和体积立体几何5．三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P­ABC的体积等于__________．解析：依题意有，三棱锥P­ABC的体积V＝13S△ABC·|PA|＝13×34×22×3＝3.答案：3空间几何体的表面积和体积立体几何题型一多面体的表面积与体积的计算例1如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．题型探究空间几何体的表面积和体积立体几何解析：(1)这个几何体的直观图如图所示．空间几何体的表面积和体积立体几何(2)这个几何体可看成是正方体ABCD－A1B1C1D1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm2)，所求几何体的体积V＝23＋12×(2)2×2＝10(cm3)．空间几何体的表面积和体积立体几何点评：①由三视图画几何体的直观图，掌握“长对正、宽相等，高平齐”的规则，是确定几何体特征的关键．②把不规则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分使之成为规则几何体，是求不规则几何体的表面积和体积常用方法．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．空间几何体的表面积和体积立体几何即时练习1若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于()A.3B．2C．23D．6解析：由主视图还原实物图知，该几何体为高是1，底面边长是2的正三棱柱，S侧＝2×1×3＝6.答案：D空间几何体的表面积和体积立体几何题型二旋转体的表面积与体积的计算例2在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为________．空间几何体的表面积和体积立体几何在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为________．答案：3π解析：形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后剩余部分，作AD⊥BC，∴AD＝3.∴V＝13πAD2×(BC＋BD)－13πAD2×BD＝3π.即时练习2空间几何体的表面积和体积立体几何例题一个正方体的体积是8，求(1)这个正方体的内切球的表面积.(2)这个正方体的外接球的表面积.球的组合体问题空间几何体的表面积和体积立体几何设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2即时练习3空间几何体的表面积和体积立体几何解析：三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，由题意知：O1B＝23×3a2＝3a3，所以半径R2＝(a2)2＋(3a3)2＝7a212，所以球的表面积是S＝4πR2＝7πa23，故选B.答案：B空间几何体的表面积和体积立体几何点评：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．空间几何体的表面积和体积立体几何题型四几何体的展开与折叠例4有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？空间几何体的表面积和体积立体几何解析：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝AB2＋BC2＝5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm.空间几何体的表面积和体积立体几何点评：①研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．②有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．空间几何体的表面积和体积立体几何已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V＝__________.即时练习4空间几何体的表面积和体积立体几何解析：该几何体形状是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是26，故应填1＋26.答案：1＋26空间几何体的表面积和体积立体几何归纳总结•方法与技巧1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．空间几何体的表面积和体积立体几何•失误与防范1．将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.