关于贝叶斯决策理论

课前思考机器自动识别分类，能不能避免错分类?怎样才能减少错误？不同错误造成的损失一样吗？先验概率，后验概率，概率密度函数？什么是贝叶斯公式？正态分布？期望值、方差？正态分布为什么是最重要的分布之一？学习指南理解本章的关键要正确理解先验概率，类概率密度函数，后验概率这三种概率对这三种概率的定义，相互关系要搞得清清楚楚Bayes公式正是体现这三者关系的式子，要透彻掌握。2.1引言统计决策理论是模式分类问题的基本理论之一贝叶斯决策理论是统计决策理论中的一个基本方法物理对象的描述在特征空间中讨论分类问题假设一个待识别的物理对象用其d个属性观察值描述，称之为d个特征，记为x=[x1,x2,…,xd]T这组成一个d维的特征向量，而这d维待征所有可能的取值范围则组成了一个d维的特征空间。贝叶斯决策理论方法讨论的问题讨论的问题总共有c类物体已知各类在这d维特征空间的统计分布，各类别ωi=1,2,…,c的先验概率P(ωi)类条件概率密度函数p(x|ωi)问题:如何对某一样本按其特征向量分类已知d维特征空间的统计分布，如何对某一样本分类最合理基于最小错误率的贝叶斯决策基于最小风险的贝叶斯决策在限定一类错误率条件下使另一类错误率为最小的两类别决策最小最大决策序贯分类方法§2.2几种常用的决策规则2.2.1基于最小错误率的贝叶斯决策分类识别中为什么会有错分类？当某一特征向量值X只为某一类物体所特有，即对其作出决策是容易的，也不会出什么差错问题在于出现模棱两可的情况任何决策都存在判错的可能性。基于最小错误率的贝叶斯决策基本思想使错误率为最小的分类规则称之为基于最小错误率的贝叶斯决策条件概率P(*|#)是条件概率的通用符号即在某条件#下出现某个事件*的概率P(ωK|X):X出现条件下,样本为ωK类的概率P(*|#)与P(*)不同例:*表示中国人，#表示在中国大陆的人则P(*|#)与P(*)不同含义不同几个重要概念先验概率P(ω1)及P(ω2)概率密度函数P(x|ωi)后验概率P(ωi|X)贝叶斯决策理论先验概率，后验概率，概率密度函数假设总共有c类物体，用ωi(i=1,2,…,c)标记每个类别，x=[x1,x2,…,xd]T，是d维特征空间上的某一点，则P(ωi)是先验概率p(x|ωi)是ωi类发生时的条件概率密度函数P(ωi|x)表示后验概率基于最小错误率的贝叶斯决策例：癌细胞的识别假设每个要识别的细胞已作过预处理，并抽取出了d个特征描述量，用一个d维的特征向量X表示，识别的目的是要依据该X向量将细胞划分为正常细胞或者异常细胞。这里我们用ω１表示是正常细胞，而ω２则属于异常细胞。基于最小错误率的贝叶斯决策先验概率P(ω1)和P(ω2)含义:每种细胞占全部细胞的比例P(ω1)+P(ω2)=1一般情况下正常细胞占比例大，即P(ω1)P(ω2)基于最小错误率的贝叶斯决策salmon”or“seabass”判别中的先验概率P(ωsalmon)P(ωseabass)基于最小错误率的贝叶斯决策先验概率根据先验概率决定这种分类决策没有意义表明由先验概率所提供的信息太少221121),()(),()(xPPxPP基于最小错误率的贝叶斯决策概率密度函数利用对细胞作病理分析所观测到的信息，也就是所抽取到的d维观测向量。为简单起见，我们假定只用其一个特征进行分类，即d=1得到两类的类条件概率密度函数分布P(x|ω1)是正常细胞的属性分布P(x|ω2)是异常细胞的属性分布基于最小错误率的贝叶斯决策类条件概率密度函数1)|(dxXfi概率密度函数性质基于最小错误率的贝叶斯决策salmon”or“seabass”判别中的类条件概率密度函数基于最小错误率的贝叶斯决策类条件概率密度函数直接用来分类是否合理？221:)|()|(XPXP121:)|()|(XPXP具有一定的合理性不满足最小错误率要求没有考虑先验概率基于最小错误率的贝叶斯决策后验概率含义P(ω1|X)当观测向量为X值时,该细胞属于正常细胞的概率。P(ω2|X)当观测向量为X值时,该细胞属于异常细胞的概率。基于最小错误率的贝叶斯决策后验概率基于最小错误率的贝叶斯决策salmon”or“seabass”判别中的后验概率基于最小错误率的贝叶斯决策类条件概率和后验概率区别后验概率:P(ω1|x)和P(ω２|x)同一条件x下，比较ω1与ω2出现的概率两类ω1和ω2，则有P(ω1|x)+P(ω2|x)=1如P(ω1|x)P(ω2|x)则可以下结论，在x条件下，事件ω1出现的可能性大类条件概率:P(x|ω1)和P(x|ω2)是在不同条件下讨论的问题即使只有两类ω1与ω2，P(x|ω1)+P(x|ω1)≠1P(x|ω1)与P(x|ω2)两者没有联系基于最小错误率的贝叶斯决策贝叶斯公式先验概率，后验概率，概率密度函数之间关系根据先验概率和概率密度函数可以计算出后验概率基于最小错误率的贝叶斯决策问题为什么先验概率和类条件概率密度函数可以作为已知？而后验概率需要通过计算获得？基于最小错误率的贝叶斯决策为什么后验概率要利用Bayes公式从先验概率和类条件概率密度函数计算获得？计算概率都要拥有大量数据估计先验概率与类条件概率密度函数时都可搜集到大量样本对某一特定事件(如x)要搜集大量样本是不太容易只能借助Bayes公式来计算得到基于最小错误率的贝叶斯决策问题根据最小错误率，如何利用先验概率、类条件概率密度函数和后验概率进行分类？基于最小错误率的贝叶斯决策贝叶斯决策理论前提各类别总体的概率分布是已知的;要决策分类的概率分布是已知的。贝叶斯决策理论方法所讨论的问题是：已知:总共有c类物体，以及先验概率P(ωi)及类条件概率密度函数p(x|ωi)问题:如何对某一样本按其特征向量分类的问题。基于最小错误率的贝叶斯决策基于最小错误率的贝叶斯决策规则:如果P(ω1|X)P(ω2|X)，则X归为ω1类别如果P(ω1|X)≤P(ω2|X)，则X归为ω2类别基于最小错误率的贝叶斯决策几种等价形式：后验概率形式:如果则x归为ωi先验概率及类条件概率密度函数表示：如果则x归为ωi基于最小错误率的贝叶斯决策几种等价形式：比值的方式表示，如果则x归为ω1，否则x归为ω2基于最小错误率的贝叶斯决策几种等价形式：对数形式若则x归为ω1，否则x归为ω2基于最小错误率的贝叶斯决策例2.1假设在某地区切片细胞中正常(ω1)和异常(ω２)两类的先验概率分别为P(ω1)=0.9，P(ω2)=0.1。现有一待识别细胞呈现出状态x，由其类条件概率密度分布曲线查得p(x|ω1)=0.2，p(x|ω２)=0.4，试对细胞x进行分类。基于最小错误率的贝叶斯决策例2.1解：利用贝叶斯公式，分别计算出状态为x时ω1与ω２的后验概率基于最小错误率的贝叶斯决策例2.1根据贝叶斯决策有P(ω1|x)＝0.818＞P(ω２|x)＝0.182分析:错误概率是多少？判断为正常细胞，错误率为0.182判断为异常细胞，错误率为0.818因此判定该细胞为正常细胞比较合理。最小错误率的证明最小错误率贝叶斯准则使得错误率最小证明:从平均的意义上的错误率在连续条件下，平均错误率，以P(e)表示，应有:最小错误率的证明最小错误率贝叶斯准则使得错误率最小证明:分析两类别问题按贝叶斯决策规则，当P(w2|x)＞p(w1|x)时决策为w2。显然这个决策意味着，对观测值x有P(w1|x)概率的错误率。上例中所作的w1决策，实际上包含有P(w2|x)=0.182的错误概率最小错误率的证明最小错误率贝叶斯准则使得错误率最小证明:在两类别的情况下，可以将p(e|x)表示成当基于最小错误率的贝叶斯决策最小错误率贝叶斯准则使得错误率最小证明:如果我们把作出w1决策的所有观测值区域称为R1，则在R1区内的每个x值，条件错误概率为p(w2|x)。另一个区R2中的x,条件错误概率为p(w1|x)。基于最小错误率的贝叶斯决策最小错误率贝叶斯准则使得错误率最小证明:因此平均错误率P(e)可表示成21)()|()()|()(12RRdxxpxPdxxpxPeP基于最小错误率的贝叶斯决策最小错误率贝叶斯准则使得错误率最小证明:由于在R1区内任一个x值都有P(w2|x)＜P(w1|x)，同样在R2区内任一个x值都有P(w1|x)＜P(w2|x)错误率在每个x值处都取小者，因而平均错误率P(e)也必然达到最小这就证明了平均错误率为最小基于最小错误率的贝叶斯决策C类别情况下最小错误率贝叶斯决策在C类别情况下最小错误率贝叶斯决策规则的后验概率形式：先验概率与类条件概率密度相联系的形式C类别情况下最小错误率贝叶斯决策多类别决策过程中的错误率把特征空间分割成R1，R2，…，Rc个区域统计将所有其它类错误划为该区域对应的i类的概率计算是很繁琐计算平均正确分类概率P(c)即2.2.2基于最小风险的贝叶斯决策基本思想使错误率最小并不一定是一个普遍适用的最佳选择。癌细胞分类两种错误:癌细胞→正常细胞正常细胞→癌细胞两种错误的代价(损失)不同基于最小风险的贝叶斯决策基本思想宁可扩大一些总的错误率，但也要使总的损失减少。引进一个与损失有关联的，更为广泛的概念——风险。在作出决策时，要考虑所承担的风险。基于最小风险的贝叶斯决策规则正是为了体现这一点而产生的。基于最小风险的贝叶斯决策最小错误率贝叶斯决策规则：最小错误率目标函数:P(ωj|X)为了考虑不同决策的不同损失，构造如下目标函数λ(i)j:表示样本X实际属于j类，被判为状态i所造成的损失Rj(X):表示把样本X判为状态i所造成的整体损失基于最小风险的贝叶斯决策两类情况:有没有癌细胞ω1表示正常，ω2表示异常P(ω1|X)与P(ω2|X)分别表示了两种可能性的大小X是癌细胞(ω2)，但被判作正常(ω1)，则会有损失，这种损失表示为:λ2(1)X确实是正常(ω1)，却被判定为异常(ω2)，则损失表示成:λ1(2)基于最小风险的贝叶斯决策两类情况:有没有癌细胞另外为了使式子写的更方便，我们也可以定义λ1(1)和λ2(2)是指正确判断也可有损失基于最小风险的贝叶斯决策两类情况:有没有癌细胞X判作ω1引进的损失应该为将X判为ω2的风险就成为作出哪一种决策就要看是R1(X)小还是R2(X)小这就是基于最小风险的贝叶斯决策的基本出发点基于最小风险的贝叶斯决策(1)自然状态与状态空间自然状态:识别对象的类别状态空间Ω:所有自然状态所组成的空间Ω={ω1，ω2，…，ωc}(2)决策与决策空间决策:对分类问题所作的判决决策空间:由所有决策组成的空间称为决策空间内决策总数a可以不等于类别数cA={α1,α2,…，αn}基于最小风险的贝叶斯决策(3)损失函数λ(αi|ωj)(或λ(αi,ωj))这就是前面我们引用过的λj(i)表示对自然状态ωj，作出决策αj时所造成的损失(4)观测值X条件下的期望损失R(αi|X)这就是前面引用的符号Ri，也称为条件风险。基于最小风险的贝叶斯决策最小风险贝叶斯决策规则可写成：引入一个期望风险R基于最小风险的贝叶斯决策最小风险贝叶斯决策步骤：(1)计算出后验概率已知P(ωi)和P(X|ωi)，i=1,…，c，获得观测到的特征向量X根据贝叶斯公式计算j=1,…，x基于最小风险的贝叶斯决策最小风险贝叶斯决策步骤：(2)计算条件风险已知:后验概率和决策表计算出每个决策的条件风险(3)找出使条件风险最小的决策αk则αk就是最小风险贝叶斯决策。基于最小风险的贝叶斯决策例2.2在例2.1条件的基础上已知λ11=0,(λ11表示λ(α1|ω1